Решение неравенств с одной переменной

Лифт поднимает не больше 400 кг. В него зашёл грузчик массой 80 кг с ящиками по 25 кг. Сколько ящиков можно взять? Обозначим число ящиков \(x\) и запишем условие: \(80 + 25x \leqslant 400\). Это неравенство с одной переменной. При \(x = 10\) получаем \(330 \leqslant 400\) — верно, а при \(x = 14\) получаем \(430 \leqslant 400\) — неверно.

Решение неравенства

Решение неравенства — это значение переменной, при котором неравенство превращается в верное числовое неравенство. Обычно решений бесконечно много, поэтому решить неравенство — значит найти их все (или доказать, что их нет). Ответ записывают числовым промежутком: \((-\infty;\ 12{,}8]\) или неравенством \(x \leqslant 12{,}8\).

Равносильные неравенства

Неравенства с одними и теми же решениями называют равносильными. Неравенства без решений тоже считают равносильными. Решая неравенство, мы шаг за шагом заменяем его более простым равносильным. Для этого есть два правила.

1. Слагаемое можно перенести из одной части в другую, поменяв его знак: \(x + 5 > 2\) равносильно \(x > 2 - 5\).
2. Обе части можно умножить или разделить на одно и то же положительное число — знак неравенства не меняется. Если число отрицательное, знак неравенства нужно сменить на противоположный: \(<\) на \(>\), \(\leqslant\) на \(\geqslant\) и наоборот.

Почему меняется знак? Возьмём верное неравенство \(2 < 5\) и умножим обе части на \(-1\): получим \(-2\) и \(-5\). Но \(-2 > -5\) — числа «поменялись местами» относительно нуля. Поэтому без смены знака неравенство стало бы неверным.

Линейные неравенства

Неравенства вида \(ax > b\) или \(ax < b\) (и с \(\leqslant\), \(\geqslant\)), где \(a\) и \(b\) — числа, называют линейными неравенствами с одной переменной. К такому виду сводятся неравенства со скобками и дробями: скобки раскрывают, от дробей избавляются умножением на общий знаменатель (он положительный, знак не меняется).

В задаче про лифт: \(25x \leqslant 400 - 80\), \(25x \leqslant 320\), \(x \leqslant 12{,}8\). Число ящиков целое, значит, можно взять не больше 12.

Особый случай: коэффициент равен нулю

Иногда после приведения подобных членов \(x\) исчезает и получается \(0 \cdot x > b\) или \(0 \cdot x < b\). Тогда при любом \(x\) слева стоит 0, и всё решает числовое неравенство:

• \(0 \cdot x < 7\), то есть \(0 < 7\) — верно при любом \(x\), решение — любое число, \((-\infty;\ +\infty)\);
• \(0 \cdot x > 7\), то есть \(0 > 7\) — неверно, решений нет.

Как изобразить ответ

На координатной прямой отмечают граничную точку. Если неравенство строгое (\(<\) или \(>\)), точку рисуют пустым кружком — она не входит в ответ, в записи ставят круглую скобку. Если нестрогое (\(\leqslant\), \(\geqslant\)) — кружок закрашен, скобка квадратная. Затем штрихуют луч влево (для «меньше») или вправо (для «больше»).

Как решать

1. Если есть дроби — умножить обе части на общий знаменатель.
2. Раскрыть скобки.
3. Перенести слагаемые с переменной в одну часть, числа — в другую, меняя знаки слагаемых.
4. Привести подобные члены и получить \(ax > b\) (или другой знак).
5. Разделить на \(a\). Если \(a < 0\) — сменить знак неравенства. Если \(a = 0\) — проверить числовое неравенство \(0 > b\).
6. Записать ответ промежутком, следя за видом скобки.