Задача 1
Условие (кратко)
При каких значениях b уравнение x² − (2b − 2)x + b² − 2b = 0 имеет два корня, принадлежащие интервалу (−5; 5)? Задание повышенной трудности.
Решение
Найдём дискриминант (через половину второго коэффициента \(k = -(b - 1)\)):
\[\frac{D}{4} = (b - 1)^2 - (b^2 - 2b) = b^2 - 2b + 1 - b^2 + 2b = 1 > 0,\]
значит, при любом \(b\) уравнение имеет два корня:
\[x = (b - 1) \pm 1, \quad x_1 = b - 2, \quad x_2 = b.\]
Оба корня лежат в интервале \((-5;\ 5)\), если
\[\begin{cases} b - 2 > -5, \\ b < 5, \end{cases} \quad \begin{cases} b > -3, \\ b < 5. \end{cases}\]
(Условия \(b - 2 < 5\) и \(b > -5\) при этом выполняются автоматически.)
Ответ
При −3 < b < 5
Почему так
Корни уравнения равны b − 2 и b; условие на корни даёт систему линейных неравенств.
Подробнее — в теме «Решение систем неравенств с одной переменной».