Задача 1
Условие (кратко)
Первую половину пути поезд прошёл со скоростью 60 км/ч, затем увеличил скорость. Какой могла быть скорость во второй половине пути, если средняя скорость не превышала 72 км/ч? Задание повышенной трудности.
Решение
Дано
- \(v_1 = 60\) км/ч на первой половине пути
- \(v_2 > 60\) км/ч
- \(v_{\text{ср}} \leqslant 72\) км/ч
Найти
- \(v_2\)
Пусть каждая половина пути равна \(s\) км, а \(x\) км/ч — скорость на второй половине (\(x > 60\)). Время в пути \(\dfrac{s}{60} + \dfrac{s}{x}\), средняя скорость
\[v_{\text{ср}} = \frac{2s}{\dfrac{s}{60} + \dfrac{s}{x}} = \frac{2}{\dfrac{1}{60} + \dfrac{1}{x}} = \frac{120x}{x + 60}.\]
Условие \(v_{\text{ср}} \leqslant 72\); так как \(x + 60 > 0\), умножим обе части на \(x + 60\):
\[120x \leqslant 72(x + 60), \quad 48x \leqslant 4320, \quad x \leqslant 90.\]
С учётом того, что скорость увеличилась: \(60 < x \leqslant 90\).
Проверка: при \(x = 90\) средняя скорость \(\dfrac{120 \cdot 90}{150} = 72\) км/ч.
Ответ
Более 60 км/ч, но не более 90 км/ч
Почему так
Средняя скорость — это весь путь, делённый на всё время, а не среднее арифметическое скоростей.
Подробнее — в теме «Решение неравенств с одной переменной».