Задание 1144

Выражение имеет смысл, когда оба знаменателя не равны нулю:

\(6x \ne 0\), то есть \(x \ne 0\);

\(6 + x \ne 0\), то есть \(x \ne -6\).

Область определения — все числа, кроме \(-6\) и \(0\), то есть \((-\infty;\ -6) \cup (-6;\ 0) \cup (0;\ +\infty)\).

Квадратный корень определён только для неотрицательных чисел, поэтому должны выполняться оба условия:

Из второго \(x \geqslant 4\); при этом и первое выполнено. Область определения — \([4;\ +\infty)\).

Внутренняя дробь \(\dfrac{1}{x}\) определена при \(x \ne 0\).

Внешняя дробь определена, если \(1 + \dfrac{1}{x} \ne 0\), то есть \(\dfrac{1}{x} \ne -1\), \(x \ne -1\).

Область определения — все числа, кроме \(-1\) и \(0\), то есть \((-\infty;\ -1) \cup (-1;\ 0) \cup (0;\ +\infty)\).

Заметим: при \(x \ne 0\) и \(x \ne -1\) функция равна \(\dfrac{x}{x + 1}\), но у формулы \(\dfrac{x}{x+1}\) область определения шире (она допускает \(x = 0\)), поэтому область определения находим по исходной формуле.