Какое из правил НЕ задаёт функцию?

Каждому числу x ставятся в соответствие числа, квадрат которых равен x

Каждому числу x ставится в соответствие число 2x + 1

Каждому ученику класса ставится в соответствие его рост

Каждому числу x ставится в соответствие его модуль

Какова область определения функции y = 5/x(x - 4)?

Все числа, кроме 0 и 4

Все числа, кроме 0

Все числа, кроме 4

Функция, область определения и множество значений

Коротко о главном

Функция — правило, по которому каждому значению $$x$$ из области определения соответствует ровно одно значение $$y$$ . Все допустимые $$x$$ образуют область определения $$D(f)$$ , все получающиеся $$y$$ — множество значений $$E(f)$$ .

y = f(x), \quad x \in D(f), \quad y \in E(f)

Подробное объяснение

Представьте автомат с напитками. Нажали кнопку 5 — выпала вода, нажали 12 — сок. Каждой кнопке соответствует один определённый напиток: не бывает так, чтобы одна кнопка выдавала то воду, то сок. Это и есть функция: «вход» (номер кнопки) однозначно определяет «выход» (напиток). Кнопки, которые есть на автомате, — область определения. Напитки, которые вообще можно получить, — множество значений. Кнопки 100 на автомате нет, и спрашивать, что она выдаёт, бессмысленно.

Функция и запись f(x)

В математике вход обозначают $$x$$ (независимая переменная, или аргумент), выход — $$y$$ (зависимая переменная). Функция — такая зависимость $$y$$ от $$x$$ , при которой каждому значению $$x$$ соответствует единственное значение $$y$$ . Записывают $$y = f(x)$$ и читают «игрек равно эф от икс».

Запись $$f(3)$$ означает «значение функции при $$x = 3$$ ». Если $$f(x) = x^2 + 1$$ , то $$f(3) = 3^2 + 1 = 10$$ . Вместо буквы $$f$$ можно взять $$g$$ , $$h$$ , $\varphi$ — смысл тот же.

Задать функцию можно по-разному: формулой ( $$y = 2x - 1$$ ), таблицей (расписание: час — температура), графиком (кардиограмма, график давления) или словами («каждому числу — его модуль»).

Область определения

Если функция задана формулой и ничего не сказано дополнительно, область определения — все $$x$$ , при которых формулу можно вычислить. В 8 классе мешают две вещи:

знаменатель не может быть равен нулю;
под квадратным корнем не может стоять отрицательное число.

Например, у $y = \dfrac{1}{x - 5}$ область определения — все числа, кроме 5, а у $y = \sqrt{x}$ — промежуток $[0;\ +\infty)$ .

Если функция описывает реальный процесс, область определения задаёт смысл задачи: время не бывает отрицательным, число учеников — дробным, а площадь участка не больше той, что есть.

Множество значений и график

График функции — все точки $(x;\ f(x))$ координатной плоскости. По графику обе «области» видно сразу: область определения — это тень графика на оси $$x$$ , множество значений — тень на оси $$y$$ .

График кусочной функции: дуга параболы y = x² от точки (−2; 4) до (1; 1), затем отрезок прямой y = 2 − x до точки (3; −1). На оси x выделен отрезок [−2; 3], на оси y — отрезок [−1; 4]. — Область определения — проекция графика на ось x, множество значений — проекция на ось y. Здесь D(f) = [−2; 3], E(f) = [−1; 4].

Кусочно заданная функция

Функцию можно задать разными формулами на разных участках, как на рисунке: $$y = x^2$$ при $-2 \leqslant x \leqslant 1$ и $$y = 2 - x$$ при $1 < x \leqslant 3$ . Это всё равно одна функция: для каждого $$x$$ сначала смотрим, в какой участок он попал, и считаем по «своей» формуле. Так устроены тарифы: до 100 кВт·ч одна цена, сверх — другая.

Как решать задачи

Найти $$f(a)$$ — подставить $$a$$ вместо каждого $$x$$ , отрицательное число брать в скобки.
Найти $$x$$ , при котором $$f(x) = b$$ — решить уравнение $$f(x) = b$$ и проверить корень подстановкой.
Найти область определения — выписать все ограничения: знаменатель $\ne 0$ , подкоренное выражение $\geqslant 0$ ; решить их и записать ответ промежутком, выколов «запретные» точки. Дробь до этого не сокращать!
Найти множество значений по графику — отметить самую нижнюю и самую верхнюю точки графика; если график сплошной, то $$E(f)$$ — отрезок между их ординатами.
Кусочная функция — для каждого $$x$$ сначала выбрать участок, потом формулу.

Разобранные примеры

База

Значение функции и обратная задача

Условие

Функция задана формулой $$f(x) = 4 - x^2$$ . Найдите $$f(3)$$ и все значения $$x$$ , при которых $$f(x) = -12$$ .

Решение

$$f(3) = 4 - 3^2 = 4 - 9 = -5$$ .

Решим уравнение $$4 - x^2 = -12$$ : $$x^2 = 16$$ , откуда $$x = 4$$ или $$x = -4$$ . Проверка: $$f(4) = f(-4) = 4 - 16 = -12$$ .

Ответ: f(3) = −5; f(x) = −12 при x = −4 и x = 4

Средний

Область определения с дробью и корнем

Условие

Найдите область определения функции $y = \dfrac{x + 5}{x^2 - 9} + \sqrt{x + 4}$ .

Решение

Ограничение корня: $x + 4 \geqslant 0$ , то есть $x \geqslant -4$ .

Ограничение дроби: $x^2 - 9 \ne 0$ , то есть $x \ne 3$ и $x \ne -3$ . Оба «запретных» числа лежат в промежутке $[-4;\ +\infty)$ , их выкалываем.

Заметим, что числитель $$x + 5$$ на ответ не влияет: он может быть любым.

D(y) = [-4;\ -3) \cup (-3;\ 3) \cup (3;\ +\infty).

Ответ: [−4; −3) ∪ (−3; 3) ∪ (3; +∞)

Сложный

Кусочная функция по рисунку

Условие

Функция задана так: $$f(x) = x^2$$ при $-2 \leqslant x \leqslant 1$ и $$f(x) = 2 - x$$ при $1 < x \leqslant 3$ . Найдите $$f(-1{,}5)$$ , $$f(2)$$ , область определения и множество значений.

Решение

$$-1{,}5$$ попадает в первый участок: $f(-1{,}5) = (-1{,}5)^2 = 2{,}25$ . Число 2 — во второй: $$f(2) = 2 - 2 = 0$$ .

Участки вместе покрывают отрезок от $$-2$$ до $$3$$ : $D(f) = [-2;\ 3]$ .

На $[-2;\ 1]$ функция $$y = x^2$$ принимает значения от 0 (при $$x = 0$$ ) до 4 (при $$x = -2$$ ), то есть $[0;\ 4]$ . На $(1;\ 3]$ функция $$y = 2 - x$$ убывает от чисел, близких к 1, до $$-1$$ , то есть $[-1;\ 1)$ . Объединяем: $E(f) = [-1;\ 4]$ . Это видно и на рисунке выше.

Ответ: f(−1,5) = 2,25; f(2) = 0; D(f) = [−2; 3]; E(f) = [−1; 4]

Типичные ошибки

Сокращают дробь, а потом ищут область определения

Почему неверно

У функции $y = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ после сокращения получается $$y = x + 2$$ , и кажется, что подходят все числа. Но при $$x = 2$$ исходная формула содержит деление на нуль — функция там не определена, на графике прямой появляется «дырка» в точке $(2;\ 4)$ .

Как правильно

Сначала по исходной формуле найти все запреты ( $x \ne 2$ ), только потом упрощать. Ответ: все числа, кроме 2.

Множество значений берут по концам отрезка

Почему неверно

Для $$y = x^2$$ на отрезке $[-2;\ 1]$ считают $$y(-2) = 4$$ , $$y(1) = 1$$ и пишут $[1;\ 4]$ . Но внутри отрезка есть $$x = 0$$ , где $$y = 0$$ — меньше обоих «концевых» значений.

Как правильно

Искать самую низкую и самую высокую точку графика на всём участке, а не только на краях. Здесь $E = [0;\ 4]$ .

Путают f(2) и f(x) = 2

Почему неверно

«Найдите $$f(2)$$ » — подставить $$x = 2$$ и посчитать $$y$$ . «Найдите $$x$$ , при котором $$f(x) = 2$$ » — наоборот, $$y$$ известен, нужно решить уравнение. Ученики часто во втором задании просто подставляют 2 вместо $$x$$ .

Как правильно

Каждый раз спрашивать себя: что известно — вход $$x$$ или выход $$y$$ ? Если известен $$y$$ , составляем уравнение.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Функция задана формулой $$f(x) = x^2 - 3x$$ . Найдите $$f(-2)$$ и $$f(0{,}5)$$ .

Подсказка

Подставьте число вместо каждого $$x$$ в формуле, отрицательное число — в скобках.

Решение

$f(-2) = (-2)^2 - 3 \cdot (-2) = 4 + 6 = 10$ .

$f(0{,}5) = 0{,}5^2 - 3 \cdot 0{,}5 = 0{,}25 - 1{,}5 = -1{,}25$ .

Ответ

f(−2) = 10; f(0,5) = −1,25

База Задача 2

Найдите область определения функции $y = \dfrac{7}{x + 2}$ .

Подсказка

На нуль делить нельзя.

Решение

Выражение имеет смысл, когда знаменатель не равен нулю: $x + 2 \ne 0$ , то есть $x \ne -2$ .

Область определения — все числа, кроме $$-2$$ , то есть $(-\infty;\ -2) \cup (-2;\ +\infty)$ .

Ответ

Все числа, кроме −2

Средний Задача 3

При каком значении $$x$$ функция $g(x) = \dfrac{3x - 1}{4}$ принимает значение, равное 5?

Подсказка

Составьте уравнение $$g(x) = 5$$ .

Решение

\dfrac{3x - 1}{4} = 5;\quad 3x - 1 = 20;\quad 3x = 21;\quad x = 7.

Проверка: $g(7) = \dfrac{21 - 1}{4} = 5$ .

Ответ

x = 7

Средний Задача 4

Найдите область определения функции $y = \sqrt{x - 3} + \dfrac{1}{x - 7}$ .

Подсказка

Два условия сразу — для корня и для знаменателя.

Решение

Корень имеет смысл, когда $x - 3 \geqslant 0$ , то есть $x \geqslant 3$ . Дробь имеет смысл, когда $x - 7 \ne 0$ , то есть $x \ne 7$ .

Оба условия вместе: все числа от 3 и больше, кроме 7.

D(y) = [3;\ 7) \cup (7;\ +\infty).

Ответ

[3; 7) ∪ (7; +∞)

Сложный Задача 5

Функция задана так: $$f(x) = -x$$ при $-4 \leqslant x < 0$ и $$f(x) = x^2$$ при $0 \leqslant x \leqslant 2$ . Найдите $$f(-3)$$ , $$f(0)$$ , $$f(2)$$ и множество значений функции.

Подсказка

Для каждого $$x$$ сначала решите, какой из двух формул он подчиняется.

Решение

$$-3$$ лежит в промежутке $[-4;\ 0)$ , поэтому $$f(-3) = -(-3) = 3$$ . Число 0 относится ко второй формуле: $$f(0) = 0^2 = 0$$ . $$f(2) = 2^2 = 4$$ .

На $[-4;\ 0)$ функция $$y = -x$$ принимает значения от 4 (при $$x = -4$$ ) до чисел, сколь угодно близких к 0, но не 0: это $(0;\ 4]$ .

На $[0;\ 2]$ функция $$y = x^2$$ принимает все значения от 0 до 4: это $[0;\ 4]$ .

Вместе: $E(f) = [0;\ 4]$ .

Ответ

f(−3) = 3; f(0) = 0; f(2) = 4; множество значений [0; 4]

Сложный Задача 6

Найдите область определения функции $y = \dfrac{1}{|x| - 3} + \sqrt{5 - x}$ .

Подсказка

Модуль равен 3 при двух значениях $$x$$ .

Решение

Знаменатель: $|x| - 3 \ne 0$ , то есть $|x| \ne 3$ , $x \ne 3$ и $x \ne -3$ .

Корень: $5 - x \geqslant 0$ , то есть $x \leqslant 5$ .

Из промежутка $(-\infty;\ 5]$ выкалываем точки $$-3$$ и $$3$$ :

D(y) = (-\infty;\ -3) \cup (-3;\ 3) \cup (3;\ 5].

Ответ

(−∞; −3) ∪ (−3; 3) ∪ (3; 5]

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите калькулятор и придумайте «машинку»: «умножь на 2 и прибавь 1». Ребёнок называет число, вы выдаёте ответ — это значение функции. Затем машинка «раздели 12 на число»: попросите ввести 0 — калькулятор выдаст ошибку. Вот и область определения: числа, которые машинка «принимает». А все ответы, которые она может выдать, — множество значений.

Вопросы для проверки понимания: 1) Почему у функции $y = \dfrac{1}{x}$ нет значения при $$x = 0$$ ? 2) Чем отличаются задания «найдите $$f(3)$$ » и «решите $$f(x) = 3$$ »? 3) Как по графику найти, какие значения принимает функция?

На что обратить внимание. Область определения ищут по исходной формуле, до любых сокращений. Ответ лучше записывать промежутками, не забывая выкалывать «запретные» точки. Множество значений — по самой нижней и самой верхней точке графика, а не по концам.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Алгебра. 8 класс (Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова)	§ 42	1063, 1064, 1065, 1066, 1067, 1068, 1069, 1070, 1071, 1072, 1073, 1074, 1075, 1076, 1077, 1078, 1079, 1080, 1081, 1082, 1083, 1084, 1085, 1086, 1087, 1088, 1089, 1090, 1091, 1092, 1093, 1094, 1095, 1096