Алгебра 8 класс Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова, Дополнительные упражнения к главе V, задание 1146

Задача 1

Условие (кратко)

В равнобедренном треугольнике основание 6 см, боковая сторона 5 см. Отрезок длины y параллелен основанию на расстоянии x от вершины, концы на боковых сторонах. Задать y через x, найти множество значений.

Решение

Дано

$$AB = BC = 5$$ см
$$AC = 6$$ см
отрезок $KL \parallel AC$
$K \in AB$
$L \in BC$
$$KL = y$$
расстояние от $$B$$ до $$KL$$ равно $$x$$

Найти

$$y(x)$$ и множество значений

Высота $$BH$$ равнобедренного треугольника — и медиана, $$AH = 3$$ см. По теореме Пифагора

BH = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{16} = 4 \text{ см}.

Треугольник $$KBL$$ подобен треугольнику $$ABC$$ (отрезок параллелен основанию), и отношение оснований равно отношению высот:

\frac{y}{6} = \frac{x}{4}, \quad y = 1{,}5x.

Отрезок лежит между вершиной и основанием, поэтому $$0 < x < 4$$ (при $$x = 0$$ отрезок вырождается в точку, при $$x = 4$$ совпадает с основанием). Функция $$y = 1{,}5x$$ возрастает, значит, $$y$$ принимает все значения от $$0$$ до $1{,}5 \cdot 4 = 6$ , не включая концы.

Множество значений — $(0;\ 6)$ . Если считать допустимым и положение отрезка на самом основании, то $x \in (0;\ 4]$ и множество значений $(0;\ 6]$ .

Ответ

y = 1,5x, где 0 < x < 4; множество значений (0; 6)

Почему так

Отрезок, параллельный основанию, отсекает подобный треугольник, поэтому его длина пропорциональна расстоянию от вершины.

Подробнее — в теме «Функция. Область определения и множество значений функции».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).