Задача 1
Условие (кратко)
Функция y = 1/(x² + 1). Пересекает ли её график ось x? ось y? В каких координатных четвертях расположен график?
Решение
Знаменатель \(x^2 + 1 \geqslant 1 > 0\) при любом \(x\), поэтому функция определена при всех \(x\) и \(y > 0\).
Ось \(x\): нужно \(y = 0\), но дробь с числителем \(1\) нулю не равна. График ось \(x\) не пересекает.
Ось \(y\): при \(x = 0\) получаем \(y = \dfrac{1}{0 + 1} = 1\). График пересекает ось \(y\) в точке \((0;\ 1)\).
Так как \(y > 0\) при всех \(x\), точки графика с \(x > 0\) лежат в I четверти, а с \(x < 0\) — во II четверти.
Ответ
Ось x не пересекает; ось y пересекает в точке (0; 1); график в I и II четвертях
Почему так
Значения функции всегда положительны, поэтому график лежит выше оси x.
Подробнее — в теме «Свойства функции».