Что называют нулями функции?

Значения аргумента, при которых функция равна нулю

Значения функции, равные нулю

Точку пересечения графика с осью y

Наименьшее значение функции

Какие утверждения о функции y = 2x - 6 верны?

Нуль функции равен 3

При x > 3 функция положительна

При x = 0 значение функции отрицательно

Функция y = f(x) возрастает на отрезке [1; 5]. Что можно сказать о f(2) и f(4)?

Значение f(2) меньше, чем f(4)

Значение f(2) больше, чем f(4)

Значения f(2) и f(4) равны

Свойства функции — 8 класс, алгебра: объяснение, примеры, задачи

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Функция. Область определения и множество значений функции

Коротко о главном

Свойства функции — это ответы на четыре вопроса: где функция равна нулю, где она положительна и где отрицательна, где растёт и где убывает, какое у неё наибольшее и наименьшее значение. Всё это видно по графику.

f(x_0) = 0 \;\Rightarrow\; x_0 \text{ — нуль функции}

Подробное объяснение

Представьте график глубины, на которой плывёт подводная лодка: по горизонтали — время, по вертикали — положение относительно поверхности воды. Сразу хочется спросить: когда лодка была ровно на поверхности? Когда над водой, а когда под ней? Когда поднималась, а когда погружалась? Где была глубже всего? Это и есть свойства функции.

Нули функции

Нулём функции называют значение аргумента $$x$$ , при котором $$f(x) = 0$$ . На графике это абсциссы точек, где график пересекает ось $$x$$ или касается её.

Чтобы найти нули по формуле, решают уравнение $$f(x) = 0$$ . Нуль функции — это число (например, $$x = 5$$ ), а не точка $(5;\ 0)$ .

Промежутки знакопостоянства

Нули разбивают область определения на куски. На каждом куске функция сохраняет знак: график целиком выше оси $$x$$ (функция положительна) или целиком ниже (отрицательна). Такие промежутки называют промежутками знакопостоянства. Сами нули в них не входят: в нуле функция не положительна и не отрицательна.

Возрастание и убывание

Функция возрастает на промежутке, если большему значению $$x$$ соответствует большее значение $$y$$ : из $$x_2 > x_1$$ следует $$f(x_2) > f(x_1)$$ . Если читать график слева направо, он идёт вверх.

Функция убывает, если из $$x_2 > x_1$$ следует $$f(x_2) < f(x_1)$$ : график идёт вниз.

Промежутки возрастания и убывания вместе называют промежутками монотонности. Точку, где рост сменяется спадом, обычно включают в оба соседних промежутка — их записывают отрезками: $[-5;\ -1]$ и $[-1;\ 3]$ .

Если функция возрастает на всей области определения, её называют возрастающей. Пример: $$y = 2x + 1$$ . Функция $$y = -3x$$ — убывающая.

Наибольшее и наименьшее значения

Наибольшее значение — самая высокая точка графика, наименьшее — самая низкая. Их ищут не только в «горбах» и «ямках»: на концах отрезка функция может оказаться ещё выше или ещё ниже.

График функции на отрезке [−5; 6]. Нули −3, 1 и 5 отмечены красными точками. Функция возрастает на [−5; −1] и [3; 6], убывает на [−1; 3]; наибольшее значение 3, наименьшее −3. — Нули — точки пересечения графика с осью x. Зелёные участки — функция возрастает, оранжевый — убывает. Наименьшее значение здесь достигается на конце отрезка, а не в «ямке».

На схеме функция задана на отрезке $[-5;\ 6]$ . Нули: $$-3$$ , $$1$$ , $$5$$ . Функция положительна на $(-3;\ 1)$ и $(5;\ 6]$ , отрицательна на $[-5;\ -3)$ и $(1;\ 5)$ . Возрастает на $[-5;\ -1]$ и $[3;\ 6]$ , убывает на $[-1;\ 3]$ . Наибольшее значение $$3$$ (при $$x = -1$$ ), а наименьшее $$-3$$ — на левом конце, хотя «ямка» при $$x = 3$$ даёт только $$-2$$ .

Как решать задачи

Определите область определения: по графику — от самой левой до самой правой точки, по формуле — исключите значения, при которых выражение не имеет смысла.
Найдите нули: по графику — где он пересекает ось $$x$$ , по формуле — решите уравнение $$f(x) = 0$$ и отбросьте корни вне области определения.
Отметьте нули на оси и выпишите промежутки, где график выше оси и где ниже. Концы-нули — с круглыми скобками.
Пройдите по графику слева направо: где он поднимается, запишите промежуток возрастания, где опускается — убывания.
Для наибольшего и наименьшего значений сравните «вершины», «ямки» и значения на концах.

Разобранные примеры

База

Свойства по описанию графика

Условие

Функция задана на отрезке $[-4;\ 4]$ . Её график — ломаная, последовательно соединяющая точки $(-4;\ -2)$ , $(-2;\ 2)$ , $(2;\ -2)$ и $(4;\ 0)$ . Найдите нули, промежутки знакопостоянства и монотонности, наибольшее и наименьшее значения.

Решение

Звено от $(-4;\ -2)$ до $(-2;\ 2)$ пересекает ось $$x$$ посередине, при $$x = -3$$ . Звено от $(-2;\ 2)$ до $(2;\ -2)$ — при $$x = 0$$ . Последняя вершина $(4;\ 0)$ лежит на оси, значит, $$x = 4$$ тоже нуль.

Положительна функция на $(-3;\ 0)$ , отрицательна на $[-4;\ -3)$ и $(0;\ 4)$ .

Возрастает на $[-4;\ -2]$ и $[2;\ 4]$ , убывает на $[-2;\ 2]$ .

Наибольшее значение $$2$$ (при $$x = -2$$ ), наименьшее $$-2$$ (при $$x = -4$$ и при $$x = 2$$ ).

Ответ: Нули −3, 0, 4; y > 0 на (−3; 0), y < 0 на [−4; −3) и (0; 4); возрастает на [−4; −2] и [2; 4], убывает на [−2; 2]; наибольшее 2, наименьшее −2.

Средний

Нули дробной функции

Условие

Найдите нули функции $y = \dfrac{x^2 - 4x}{x - 4}$ .

Решение

Область определения: $x \ne 4$ .

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет: $$x^2 - 4x = 0$$ , $$x(x - 4) = 0$$ , откуда $$x = 0$$ или $$x = 4$$ .

$$x = 4$$ не входит в область определения. Остаётся $$x = 0$$ .

Ответ: 0

Сложный

Доказательство возрастания

Условие

Докажите, что функция $y = \dfrac{x}{3} - 2$ возрастает.

Решение

Возьмём любые $$x_2 > x_1$$ . Тогда

y(x_2) - y(x_1) = \left(\dfrac{x_2}{3} - 2\right) - \left(\dfrac{x_1}{3} - 2\right) = \dfrac{x_2 - x_1}{3} > 0,

то есть

\(y(x_2) > y(x_1)\)

. Большему аргументу соответствует большее значение — функция возрастает.

Ответ: Функция возрастает на всей числовой прямой.

Типичные ошибки

Записывают нули функции как точки или как значения y

Почему неверно

Нуль функции — это значение аргумента. Ответ « $(-3;\ 0)$ » — точка графика, а ответ « $$0$$ » — значение функции в нуле, оно у всех нулей одинаковое.

Как правильно

Пишите абсциссы: «нули функции: $$-3$$ ; $$1$$ ; $$5$$ ».

Ищут наибольшее значение только в «горбах»

Почему неверно

Если функция задана на отрезке, на его конце она может быть выше любой вершины. У $$y = x^2$$ на $[-3;\ 2]$ вершин-«горбов» нет вовсе, а наибольшее значение $$9$$ — на левом конце.

Как правильно

Сравнивайте значения во всех вершинах, ямках и на обоих концах отрезка.

Включают нули в промежутки знакопостоянства

Почему неверно

В нуле функция равна нулю — она не положительна и не отрицательна. Запись « $$y > 0$$ на $[-3;\ 1]$ » ошибочна.

Как правильно

У концов-нулей ставьте круглые скобки: $(-3;\ 1)$ . Квадратная скобка возможна только у конца области определения, если там функция не равна нулю: $(5;\ 6]$ .

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Найдите нуль функции $$y = 4x - 10$$ .

Подсказка

Нуль функции — значение $$x$$ , при котором $$y = 0$$ .

Решение

Решим уравнение $$4x - 10 = 0$$ , откуда $$4x = 10$$ , $$x = 2{,}5$$ .

Ответ

2,5

База Задача 2

Найдите нули функции $$y = (x - 7)(2x + 3)$$ .

Подсказка

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю.

Решение

$$(x - 7)(2x + 3) = 0$$ , значит, $$x - 7 = 0$$ или $$2x + 3 = 0$$ .

Отсюда $$x = 7$$ или $$x = -1{,}5$$ .

Ответ

−1,5; 7

Средний Задача 3

Найдите нули функции $y = \dfrac{x^2 - 9}{x + 3}$ .

Подсказка

Числитель должен быть равен нулю, а знаменатель — нет.

Решение

Область определения: $x \ne -3$ .

Числитель $$x^2 - 9 = 0$$ при $$x = 3$$ и $$x = -3$$ . Но $$x = -3$$ не входит в область определения: знаменатель $$x + 3$$ при нём равен нулю.

Остаётся один нуль: $$x = 3$$ .

Ответ

3

Средний Задача 4

Найдите промежутки знакопостоянства функции $$y = -0{,}5x + 4$$ .

Подсказка

Сначала найдите нуль функции, затем решите неравенство $$-0{,}5x + 4 > 0$$ .

Решение

Нуль: $$-0{,}5x + 4 = 0$$ , $$x = 8$$ .

$$y > 0$$ , когда $$-0{,}5x + 4 > 0$$ , то есть $$-0{,}5x > -4$$ , $$x < 8$$ .

$$y < 0$$ , когда $$x > 8$$ .

Ответ

y > 0 на (−∞; 8), y < 0 на (8; +∞)

Сложный Задача 5

Докажите, что функция $$y = 5 - 3x$$ убывает на всей числовой прямой.

Подсказка

Возьмите $$x_2 > x_1$$ и найдите знак разности $$y(x_2) - y(x_1)$$ .

Решение

Пусть $$x_2 > x_1$$ . Тогда

\[y(x_2) - y(x_1) = (5 - 3x_2) - (5 - 3x_1) = -3(x_2 - x_1).\]

Так как

\(x_2 - x_1 > 0\)

, произведение

\(-3(x_2 - x_1) < 0\)

, то есть

\(y(x_2) < y(x_1)\)

.

Большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции — функция убывает.

Ответ

Доказано: при x₂ > x₁ получаем y(x₂) < y(x₁)

Сложный Задача 6

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $$y = x^2$$ на отрезке $[-3;\ 2]$ .

Подсказка

На $[-3;\ 0]$ функция убывает, на $[0;\ 2]$ возрастает. Сравните значения на концах отрезка.

Решение

На $[-3;\ 0]$ функция $$y = x^2$$ убывает, на $[0;\ 2]$ — возрастает. Значит, наименьшее значение — в точке $$x = 0$$ , там $$y = 0$$ .

Наибольшее значение может быть только на одном из концов: $$y(-3) = 9$$ , $$y(2) = 4$$ . Больше — $$9$$ .

Ответ

Наибольшее 9, наименьшее 0

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Нарисуйте на листе в клетку «горку» — график температуры за сутки — и проведите ось времени. Попросите ребёнка показать пальцем: где температура была ноль (нули), где выше нуля, где ниже, когда теплело, когда холодало, когда было теплее и холоднее всего. Потом то же самое запишите промежутками.

Вопросы для проверки понимания:

Чем нуль функции отличается от точки пересечения графика с осью $$x$$ ?
Может ли наименьшее значение быть на конце отрезка, а не в «ямке»?
Почему в промежутке «функция положительна» у нуля ставится круглая скобка?

На что обратить внимание. Промежутки монотонности читаются по $$x$$ , а не по $$y$$ : ответ «возрастает от $$-2$$ до $$3$$ » должен говорить о значениях аргумента. Для дробных функций нули обязательно проверять по знаменателю.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Алгебра. 8 класс (Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова)	§ 43	1097, 1098, 1099, 1100, 1101, 1102, 1103, 1104, 1105, 1106, 1107, 1108, 1109, 1110, 1111, 1112, 1113