Алгебра 8 класс Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова, Дополнительные упражнения к главе V, задание 1148

Условие (кратко)

Катер идёт из A вниз по реке в B (60 км), стоит 2 ч и возвращается. Скорость катера 16 км/ч, течения 4 км/ч. Задать формулами путь l(t), построить график, описать свойства.

Решение

Дано

$$AB = 60$$ км
$v_{\text{собств}} = 16$ км/ч
$v_{\text{теч}} = 4$ км/ч
стоянка 2 ч

Найти

формулы $$l(t)$$ и свойства функции

Скорость по течению $$16 + 4 = 20$$ км/ч, путь до $$B$$ занимает $$60 : 20 = 3$$ ч.

Стоянка — с $$t = 3$$ до $$t = 5$$ .

Скорость против течения $$16 - 4 = 12$$ км/ч, обратный путь занимает $$60 : 12 = 5$$ ч, катер вернётся в $$A$$ при $$t = 10$$ .

Путь, пройденный катером:

l = \begin{cases} 20t, & 0 \leqslant t \leqslant 3, \\ 60, & 3 < t \leqslant 5, \\ 60 + 12(t - 5) = 12t, & 5 < t \leqslant 10. \end{cases}

Точки для графика: $(0;\ 0)$ , $(3;\ 60)$ , $(5;\ 60)$ , $(10;\ 120)$ . График — ломаная из трёх звеньев: отрезок от $(0;\ 0)$ до $(3;\ 60)$ , горизонтальный отрезок до $(5;\ 60)$ и отрезок до $(10;\ 120)$ .

Свойства:

область определения $[0;\ 10]$ — всё время рейса, множество значений $[0;\ 120]$ — путь туда и обратно;
на $[0;\ 3]$ функция возрастает быстрее всего (катер идёт по течению, 20 км/ч);
на $[3;\ 5]$ функция постоянна — стоянка в $$B$$ ;
на $[5;\ 10]$ функция снова возрастает, но медленнее (против течения, 12 км/ч), поэтому это звено положе первого.

Если под $$l$$ понимать расстояние катера от пристани $$A$$ , то на обратном пути $$l = 60 - 12(t - 5) = 120 - 12t$$ при $5 < t \leqslant 10$ : функция убывает до нуля в момент $$t = 10$$ (катер вернулся), множество значений $[0;\ 60]$ .

Ответ

l = 20t при 0 ≤ t ≤ 3; l = 60 при 3 < t ≤ 5; l = 12t при 5 < t ≤ 10

Почему так

Путь при равномерном движении равен скорости, умноженной на время; по течению скорости складываются, против — вычитаются.

Подробнее — в теме «Свойства функции».

Задание 1148

Задача 1