Алгебра 8 класс Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова, Дополнительные упражнения к главе V, задание 1151

Задача 1

Условие (кратко)

y = f(x) и y = g(x) — возрастающие (убывающие) функции. Доказать, что φ = f(x) + g(x) — возрастающая (убывающая) функция.

Решение

Пусть $$f$$ и $$g$$ возрастают (на общей области определения). Возьмём любые $$x_1 < x_2$$ из этой области.

Так как $$f$$ возрастает, $$f(x_1) < f(x_2)$$ ; так как $$g$$ возрастает, $$g(x_1) < g(x_2)$$ .

Сложим почленно неравенства одного знака:

f(x_1) + g(x_1) < f(x_2) + g(x_2), \quad \text{то есть } \varphi(x_1) < \varphi(x_2).

Большему значению аргумента соответствует большее значение $\varphi$ , значит, $\varphi$ возрастает.

Для убывающих функций рассуждение то же: из $$x_1 < x_2$$ следует $$f(x_1) > f(x_2)$$ и $$g(x_1) > g(x_2)$$ , после сложения $\varphi(x_1) > \varphi(x_2)$ — функция $\varphi$ убывает.

Ответ

Доказано: из x₁ < x₂ следует φ(x₁) < φ(x₂) (для убывающих — φ(x₁) > φ(x₂))

Почему так

Неравенства одного знака можно почленно складывать, отсюда и монотонность суммы.

Подробнее — в теме «Свойства функции».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).