Задача 1
Условие (кратко)
y = f(x) — возрастающая функция, a — число. Доказать, что уравнение f(x) = a имеет не более одного корня.
Решение
Предположим противное: уравнение имеет два разных корня \(x_1\) и \(x_2\), тогда \(f(x_1) = a\) и \(f(x_2) = a\), то есть \(f(x_1) = f(x_2)\).
Пусть для определённости \(x_1 < x_2\). Функция возрастает, значит, \(f(x_1) < f(x_2)\), — противоречие с \(f(x_1) = f(x_2)\).
Следовательно, двух разных корней быть не может: корень один или корней нет (например, если \(a\) не входит в множество значений функции).
Ответ
Доказано: у возрастающей функции разным x соответствуют разные значения, поэтому f(x) = a имеет не более одного корня
Почему так
Возрастающая функция каждое своё значение принимает только один раз.
Подробнее — в теме «Свойства функции».