Задача 1
Условие (кратко)
Какие из функций x², x² + 5, 2x + 5, x³, −x², −x² − 4, √x, √x + 1, x⁴ + x² + 6 сохраняют знак на всей области определения?
Решение
Функция сохраняет знак, если на всей области определения она только положительна или только отрицательна (нулей нет).
- \(y = x^2\): при \(x = 0\) равна нулю — не сохраняет.
- \(y = x^2 + 5 \geqslant 5 > 0\) — сохраняет (положительна).
- \(y = 2x + 5\): при \(x = -2{,}5\) равна нулю, при меньших \(x\) отрицательна — не сохраняет.
- \(y = x^3\): отрицательна при \(x < 0\), положительна при \(x > 0\) — не сохраняет.
- \(y = -x^2\): при \(x = 0\) равна нулю — не сохраняет.
- \(y = -x^2 - 4 \leqslant -4 < 0\) — сохраняет (отрицательна).
- \(y = \sqrt{x}\): при \(x = 0\) равна нулю — не сохраняет.
- \(y = \sqrt{x} + 1 \geqslant 1 > 0\) — сохраняет (положительна).
- \(y = x^4 + x^2 + 6 \geqslant 6 > 0\) — сохраняет (положительна).
Ответ
y = x² + 5, y = −x² − 4, y = √x + 1, y = x⁴ + x² + 6
Почему так
Функция сохраняет знак, если у неё нет нулей и она не меняет знак; для этого удобно оценить её снизу или сверху числом.
Подробнее — в теме «Свойства функции».