Задача 1
Условие (кратко)
Построить график функции y = 6/|x| и описать её свойства.
Решение
При \(x > 0\) \(|x| = x\) и \(y = \dfrac{6}{x}\) — ветвь гиперболы в I четверти. При \(x < 0\) \(|x| = -x\) и \(y = -\dfrac{6}{x}\) — её зеркальное отражение относительно оси \(y\), во II четверти.
| \(x\) | \(\pm 1\) | \(\pm 2\) | \(\pm 3\) | \(\pm 6\) |
|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(6\) | \(3\) | \(2\) | \(1\) |
График — две ветви, симметричные относительно оси \(y\), обе выше оси \(x\); при приближении \(x\) к нулю ветви уходят вверх, при удалении от нуля приближаются к оси \(x\), не касаясь её.
Свойства:
- область определения — все числа, кроме \(0\), то есть \((-\infty;\ 0) \cup (0;\ +\infty)\);
- множество значений — \((0;\ +\infty)\);
- нулей нет, \(y > 0\) при всех \(x \ne 0\);
- функция возрастает на \((-\infty;\ 0)\) и убывает на \((0;\ +\infty)\);
- наибольшего и наименьшего значений нет;
- \(y(-x) = y(x)\) — график симметричен относительно оси \(y\).
Ответ
D(y): x ≠ 0; E(y) = (0; +∞); нулей нет, y > 0; возрастает на (−∞; 0), убывает на (0; +∞); график симметричен относительно оси y
Почему так
Модуль делает знаменатель положительным, поэтому график состоит из ветви y = 6/x при x > 0 и её отражения относительно оси y.
Подробнее — в теме «Свойства функций y = k/x и y = √x».