Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Функция \(y = \dfrac{k}{x}\) (\(k \ne 0\)) определена при всех \(x \ne 0\), принимает все значения, кроме нуля, и нулей не имеет. При \(k > 0\) она убывает на каждом из промежутков \((-\infty;\ 0)\) и \((0;\ +\infty)\), при \(k < 0\) — возрастает на каждом. Функция \(y = \sqrt{x}\) определена при \(x \geqslant 0\), принимает только неотрицательные значения и возрастает.
Подробное объяснение
Пример из жизни
На праздник испекли 24 пирожка и делят поровну между гостями. Если гостей \(x\), каждому достаётся \(y = \dfrac{24}{x}\) пирожков. Чем больше гостей, тем меньше достаётся каждому — функция убывает. На ноль гостей делить нельзя, и как бы много гостей ни было, доля не станет нулём. Это и есть главные свойства функции обратной пропорциональности.
Другой пример: квадратный участок площадью \(x\) м² имеет сторону \(y = \sqrt{x}\) м. Чем больше площадь, тем длиннее сторона — функция возрастает. Площадь не бывает отрицательной, и сторона тоже.
Свойства функции \(y = \dfrac{k}{x}\)
Её график — гипербола (о построении — в теме про функцию обратной пропорциональности).
- Область определения: все числа, кроме нуля, \(D(y) = (-\infty;\ 0) \cup (0;\ +\infty)\) — на ноль делить нельзя.
- Множество значений: все числа, кроме нуля, \(E(y) = (-\infty;\ 0) \cup (0;\ +\infty)\). Любое \(a \ne 0\) функция принимает при \(x = \dfrac{k}{a}\).
- Нулей нет: дробь с ненулевым числителем не равна нулю.
- Знаки. При \(k > 0\) знак \(y\) совпадает со знаком \(x\): \(y < 0\) на \((-\infty;\ 0)\), \(y > 0\) на \((0;\ +\infty)\) — ветви в I и III четвертях. При \(k < 0\) знаки противоположные: \(y > 0\) на \((-\infty;\ 0)\), \(y < 0\) на \((0;\ +\infty)\) — ветви во II и IV четвертях.
- Монотонность. При \(k > 0\) функция убывает на каждом из промежутков \((-\infty;\ 0)\) и \((0;\ +\infty)\), при \(k < 0\) — возрастает на каждом из них.
Важная тонкость: убывать на каждом промежутке — не то же самое, что быть убывающей функцией. Для \(y = \dfrac{1}{x}\) возьмём \(-1 < 1\): \(y(-1) = -1 < y(1) = 1\) — большему аргументу соответствует большее значение. Поэтому функция \(y = \dfrac{k}{x}\) не является ни убывающей, ни возрастающей, она немонотонна.
Свойства функции \(y = \sqrt{x}\)
- Область определения: \(D(y) = [0;\ +\infty)\) — корень из отрицательного числа не определён.
- Множество значений: \(E(y) = [0;\ +\infty)\). Любое \(a \geqslant 0\) функция принимает при \(x = a^2\).
- Нуль функции: \(x = 0\), других нет.
- Функция возрастающая: если \(0 \leqslant x_1 < x_2\), то \(\sqrt{x_1} < \sqrt{x_2}\). Это видно из разности \(\sqrt{x_2} - \sqrt{x_1} = \dfrac{x_2 - x_1}{\sqrt{x_2} + \sqrt{x_1}} > 0\).
Из возрастания следует удобное правило: сравнить \(\sqrt{a}\) и \(\sqrt{b}\) — значит сравнить \(a\) и \(b\).
Как решать
- Определите вид функции. Для \(y = \dfrac{k}{x}\) найдите знак \(k\), для корня — область определения.
- Запишите \(D(y)\) и \(E(y)\) промежутками.
- Знаки: для \(\dfrac{k}{x}\) — по знакам \(k\) и \(x\); корень всегда \(\geqslant 0\).
- Монотонность: у \(\dfrac{k}{x}\) — отдельно на \((-\infty;\ 0)\) и на \((0;\ +\infty)\), у \(\sqrt{x}\) — на всей области определения.
- Чтобы найти, где значение больше или меньше числа \(a\): найдите \(x\), при котором \(y = a\); разберите \(x < 0\) и \(x > 0\) отдельно (для \(\dfrac{k}{x}\)); дальше используйте монотонность.
- Сравнивая значения функции \(\dfrac{k}{x}\) в двух точках, проверьте, что точки лежат в одном промежутке. Если в разных — сравнивайте по знакам.
Разобранные примеры
Свойства функции с отрицательным k
Перечислите свойства функции \(y = -\dfrac{9}{x}\).
Здесь \(k = -9 < 0\).
\(D(y) = (-\infty;\ 0) \cup (0;\ +\infty)\), \(E(y) = (-\infty;\ 0) \cup (0;\ +\infty)\), нулей нет.
Знаки: при \(x < 0\) дробь \(-\dfrac{9}{x} > 0\), при \(x > 0\) — отрицательна. Например, \(y(-3) = 3\), \(y(3) = -3\).
Монотонность: при \(k < 0\) функция возрастает на \((-\infty;\ 0)\) и на \((0;\ +\infty)\). Проверим: \(y(1) = -9\), \(y(3) = -3\) — при большем \(x\) значение больше.
Где значения меньше числа
При каких \(x\) функция \(y = \dfrac{8}{x}\) принимает значения, меньшие 2?
При \(x < 0\) значения отрицательны, то есть меньше 2, — все такие \(x\) подходят.
При \(x > 0\): \(\dfrac{8}{x} = 2\) при \(x = 4\). На \((0;\ +\infty)\) функция убывает, поэтому меньше 2 она становится правее точки 4: \(x > 4\).
Проверка: \(y(8) = 1 < 2\), \(y(2) = 4 > 2\).
Возрастает ли сумма
Является ли функция \(y = \sqrt{x} - \dfrac{3}{x}\) возрастающей на промежутке \((0;\ +\infty)\)?
Пусть \(0 < x_1 < x_2\). Функция \(\sqrt{x}\) возрастает, поэтому \(\sqrt{x_1} < \sqrt{x_2}\).
Функция \(-\dfrac{3}{x}\) — это \(\dfrac{k}{x}\) с \(k = -3 < 0\), на \((0;\ +\infty)\) она возрастает: \(-\dfrac{3}{x_1} < -\dfrac{3}{x_2}\).
Складываем неравенства одного знака: \(\sqrt{x_1} - \dfrac{3}{x_1} < \sqrt{x_2} - \dfrac{3}{x_2}\). Значит, функция на \((0;\ +\infty)\) возрастает.
Типичные ошибки
Она убывает на каждом из промежутков \((-\infty;\ 0)\) и \((0;\ +\infty)\) по отдельности. Но \(-2 < 2\), а \(y(-2) = -0{,}5 < y(2) = 0{,}5\) — для убывающей функции так быть не может.
Говорить: «убывает на каждом из промежутков \((-\infty;\ 0)\) и \((0;\ +\infty)\)», а о функции в целом — «не является монотонной».
Для \(y = \dfrac{6}{x}\) рассуждают: «функция убывает, \(-3 < 2\), значит, \(y(-3) > y(2)\)». Но \(y(-3) = -2\), \(y(2) = 3\), то есть наоборот. Свойство убывания работает только внутри одного промежутка.
Если точки лежат по разные стороны от нуля, сравнивайте по знакам: при \(k > 0\) значение при отрицательном \(x\) отрицательно, при положительном — положительно.
\(\sqrt{9} = 3\), а не \(-3\). Арифметический корень не бывает отрицательным, \(E(y) = [0;\ +\infty)\).
Сначала проверить знак: если \(a < 0\), уравнение \(\sqrt{x} = a\) корней не имеет; если \(a \geqslant 0\), то \(x = a^2\).
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Какова область определения функции \(y = \sqrt{x}\)?
Показать ответ
Ответ: В) [0; +∞)
Квадратный корень определён для неотрицательных чисел, включая ноль, поэтому \(D(y) = [0;\ +\infty)\).
-
Какие утверждения верны для функции \(y = -\dfrac{5}{x}\)?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) Функция не имеет нулей; Б) При x > 0 значения функции отрицательны; Г) Функция возрастает на промежутке (−∞; 0)
Дробь \(-\dfrac{5}{x}\) в нуль не обращается; при \(k = -5 < 0\) её знак противоположен знаку \(x\), и функция возрастает на каждом из промежутков \((-\infty;\ 0)\) и \((0;\ +\infty)\).
-
При каком значении \(x\) функция \(y = \sqrt{x}\) принимает значение 0,3?
Показать ответ
Ответ: 0,09
\(\sqrt{x} = 0{,}3\), значит, \(x = 0{,}3^2 = 0{,}09\).
-
Функция \(y = \dfrac{2}{x}\) убывает на \((-\infty;\ 0)\) и на \((0;\ +\infty)\). Является ли она убывающей функцией?
Показать ответ
Ответ: Б) Нет: например, y(−1) = −2 меньше y(1) = 2, хотя −1 < 1
Убывающая функция при большем аргументе всегда даёт меньшее значение; для аргументов из разных промежутков это нарушается, поэтому \(y = \dfrac{2}{x}\) не монотонна.
-
Какое множество значений у функции \(y = \dfrac{k}{x}\), \(k \ne 0\)?
Показать ответ
Ответ: Б) Все числа, кроме нуля
Дробь \(\dfrac{k}{x}\) при \(k \ne 0\) не равна нулю, а любое другое число \(a\) она принимает при \(x = \dfrac{k}{a}\).
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Найдите значение функции \(y = -\dfrac{12}{x}\) при \(x = 3\). В каких координатных четвертях расположен её график?
Подсказка
Знак коэффициента \(k\) определяет, в каких четвертях лежат ветви гиперболы.
Решение
\(y(3) = -\dfrac{12}{3} = -4\).
Здесь \(k = -12 < 0\), поэтому при \(x > 0\) значения отрицательны, при \(x < 0\) — положительны: ветви во II и IV четвертях.
Ответ
При каком значении \(x\) функция \(y = \sqrt{x}\) принимает значение 7? Может ли она принять значение \(-7\)?
Подсказка
Если \(\sqrt{x} = a\) и \(a \geqslant 0\), то \(x = a^2\).
Решение
\(\sqrt{x} = 7\), \(x = 7^2 = 49\).
Значение \(-7\) функция принять не может: \(E(y) = [0;\ +\infty)\), арифметический корень не бывает отрицательным.
Ответ
Функция задана формулой \(y = \dfrac{6}{x}\). При каких \(x\) её значения больше 3?
Подсказка
При \(x < 0\) значения отрицательны. При \(x > 0\) найдите, где \(y = 3\), и вспомните, что функция там убывает.
Решение
При \(x < 0\) дробь \(\dfrac{6}{x}\) отрицательна — больше 3 не бывает.
При \(x > 0\): \(\dfrac{6}{x} = 3\) при \(x = 2\). На \((0;\ +\infty)\) функция убывает (\(k = 6 > 0\)), значит, значения больше 3 она принимает левее точки 2: \(0 < x < 2\).
Ответ
Не вычисляя значений, сравните \(y(-4)\) и \(y(-1)\) для функции \(y = -\dfrac{8}{x}\). Проверьте вычислением.
Подсказка
При \(k < 0\) функция \(y = \dfrac{k}{x}\) возрастает на каждом из промежутков \((-\infty;\ 0)\) и \((0;\ +\infty)\).
Решение
\(k = -8 < 0\), функция возрастает на \((-\infty;\ 0)\). Оба аргумента из этого промежутка, \(-4 < -1\), поэтому \(y(-4) < y(-1)\).
Проверка: \(y(-4) = -\dfrac{8}{-4} = 2\), \(y(-1) = -\dfrac{8}{-1} = 8\), и \(2 < 8\).
Ответ
График функции \(y = \dfrac{k}{x}\) проходит через точку \((-3;\ 4)\). Найдите \(k\) и выясните, возрастает или убывает функция на промежутке \((0;\ +\infty)\).
Подсказка
Подставьте координаты точки в формулу.
Решение
\(4 = \dfrac{k}{-3}\), \(k = 4 \cdot (-3) = -12\).
Так как \(k < 0\), функция \(y = -\dfrac{12}{x}\) возрастает на \((0;\ +\infty)\) (и на \((-\infty;\ 0)\) тоже).
Ответ
Найдите наименьшее и наибольшее значения функции \(y = \sqrt{x}\) на отрезке \([4;\ 25]\).
Подсказка
Функция \(y = \sqrt{x}\) возрастающая — где у возрастающей функции на отрезке наименьшее значение?
Решение
Функция \(y = \sqrt{x}\) возрастает, поэтому на отрезке наименьшее значение — в левом конце, наибольшее — в правом.
\(y(4) = \sqrt{4} = 2\), \(y(25) = \sqrt{25} = 5\).
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Возьмите 12 конфет и спросите, сколько получит каждый, если делить на 2, 3, 4, 6 человек: чем больше людей, тем меньше доля — это \(y = \dfrac{12}{x}\), и ноль людей не бывает. Потом нарисуйте квадраты площадью 1, 4, 9 клеток: стороны 1, 2, 3 — площадь растёт, и сторона растёт, это \(y = \sqrt{x}\).
Вопросы для проверки понимания: 1) Может ли функция \(y = \dfrac{5}{x}\) принять значение 0? А значение \(-100\)? 2) В каких четвертях лежит график \(y = -\dfrac{3}{x}\) и возрастает он или убывает на \((0;\ +\infty)\)? 3) Что больше: \(\sqrt{0{,}7}\) или \(\sqrt{0{,}65}\), и почему не нужно считать?
На что обратить внимание. Главная ловушка — фраза «функция \(y = \dfrac{k}{x}\) убывает». Правильно — «убывает на каждом из промежутков». Ещё проверьте, что ребёнок пишет области определения и значения промежутками и не забывает исключать ноль у гиперболы и включать ноль у корня.