Задача 1
Какие из прямых y = 4x − 5, y = 0,5x − 2, y = −1, y = −x + 3 имеют общие точки с графиком функции y = √x?
Решение
Общая точка есть, если уравнение \(\sqrt{x} = \ldots\) имеет решение. Обозначим \(t = \sqrt{x}\), где \(t \geqslant 0\), тогда \(x = t^2\).
-
\(y = 4x - 5\), уравнение \(t = 4t^2 - 5\), \(4t^2 - t - 5 = 0\), \(t = \dfrac{1 \pm 9}{8}\), \(t_1 = \dfrac{5}{4}\), \(t_2 = -1\). Подходит \(t = \dfrac{5}{4} \geqslant 0\), тогда \(x = \dfrac{25}{16}\), \(y = \dfrac{5}{4}\). Общая точка есть.
-
\(y = 0{,}5x - 2\), уравнение \(t = 0{,}5t^2 - 2\), \(t^2 - 2t - 4 = 0\), \(t = 1 \pm \sqrt{5}\). Подходит \(t = 1 + \sqrt{5} > 0\), \(x = (1 + \sqrt{5})^2 = 6 + 2\sqrt{5}\). Общая точка есть.
-
\(y = -1\), уравнение \(\sqrt{x} = -1\) невозможно, так как \(\sqrt{x} \geqslant 0\) — график корня лежит не ниже оси \(x\). Общих точек нет.
-
\(y = -x + 3\), уравнение \(t = -t^2 + 3\), \(t^2 + t - 3 = 0\), \(t = \dfrac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}\). Подходит \(t = \dfrac{\sqrt{13} - 1}{2} > 0\). Общая точка есть.
Ответ
Значения √x неотрицательны, поэтому прямая y = −1 график не пересекает, а для остальных уравнение имеет неотрицательный корень t = √x.
Подробнее — в теме «Свойства функций y = k/x и y = √x».