Задача 1
Построить график функции y = (4x + 3)/(4x² + 3x). При каких k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку?
Решение
Область определения: \(4x^2 + 3x = x(4x + 3) \ne 0\), то есть \(x \ne 0\) и \(x \ne -\dfrac{3}{4}\).
Сократим дробь:
График — гипербола \(y = \dfrac{1}{x}\) (ветви в I и III четвертях) с «выколотой» точкой при \(x = -\dfrac{3}{4}\), где \(y = -\dfrac{4}{3}\), точка \(\left(-\dfrac{3}{4};\ -\dfrac{4}{3}\right)\).
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(-\frac{3}{4}\) | \(-\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(-\frac{1}{2}\) | \(-1\) | выколота | \(-2\) | \(2\) | \(1\) | \(\frac{1}{2}\) |
Общие точки с прямой \(y = kx\) находим из уравнения \(kx = \dfrac{1}{x}\), \(kx^2 = 1\).
- При \(k \leqslant 0\) решений нет — общих точек нет.
- При \(k > 0\) получаем \(x = \pm\dfrac{1}{\sqrt{k}}\) — у гиперболы две общие точки с прямой, по одной на каждой ветви.
Ровно одна общая точка останется, если одна из этих двух точек — выколотая, то есть \(x = -\dfrac{3}{4}\):
Тогда прямая \(y = \dfrac{16}{9}x\) проходит через «дырку» и пересекает график только в точке \(\left(\dfrac{3}{4};\ \dfrac{4}{3}\right)\).
Ответ
После сокращения график — гипербола y = 1/x без точки при x = −3/4; одна общая точка остаётся, когда прямая проходит через выколотую точку.
Подробнее — в теме «Свойства функций y = k/x и y = √x».