а) Построить график функции y = x² при x ≤ 1, y = √x при x > 1 и перечислить её свойства.
Решение
При \(x \leqslant 1\) строим часть параболы \(y = x^2\), при \(x > 1\) — часть графика \(y = \sqrt{x}\).
\(x\)
\(-2\)
\(-1\)
\(0\)
\(1\)
\(4\)
\(9\)
\(y\)
\(4\)
\(1\)
\(0\)
\(1\)
\(2\)
\(3\)
При \(x = 1\) обе формулы дают \(1\), поэтому график — непрерывная линия: левая ветвь параболы до вершины \((0;\ 0)\), дуга параболы до точки \((1;\ 1)\) и дальше пологая дуга корня через \((4;\ 2)\), \((9;\ 3)\).
Свойства:
Область определения — \((-\infty;\ +\infty)\).
Множество значений — \([0;\ +\infty)\).
Нуль функции: \(x = 0\).
\(y > 0\) при \(x \ne 0\), то есть на \((-\infty;\ 0)\) и \((0;\ +\infty)\).
Убывает на \((-\infty;\ 0]\), возрастает на \([0;\ +\infty)\).
Наименьшее значение \(0\) (при \(x = 0\)), наибольшего нет.
Ответ
D = (−∞; +∞); E = [0; +∞); нуль x = 0; y > 0 при x ≠ 0; убывает на (−∞; 0], возрастает на [0; +∞); наименьшее значение 0, наибольшего нет
Почему так
Свойства кусочной функции читаются по графику, составленному из части параболы и части графика √x.
б) Построить график функции y = (x − 1)² при x ≤ 2, y = −2x + 5 при 2 < x ≤ 3 и перечислить её свойства.
Решение
При \(x \leqslant 2\) — часть параболы \(y = (x - 1)^2\) с вершиной \((1;\ 0)\); при \(2 < x \leqslant 3\) — отрезок прямой \(y = -2x + 5\).
\(x\)
\(-1\)
\(0\)
\(1\)
\(2\)
\(2{,}5\)
\(3\)
\(y\)
\(4\)
\(1\)
\(0\)
\(1\)
\(0\)
\(-1\)
При \(x = 2\) парабола даёт \(1\), и прямая \(-2 \cdot 2 + 5 = 1\) подходит к той же точке, поэтому график непрерывен: парабола до точки \((2;\ 1)\), затем отрезок до точки \((3;\ -1)\) (точка закрашена).
Свойства:
Область определения — \((-\infty;\ 3]\).
Множество значений — \([-1;\ +\infty)\): парабола даёт \([0;\ +\infty)\), отрезок — \([-1;\ 1)\).
\(y > 0\) на \((-\infty;\ 1)\) и \((1;\ 2{,}5)\); \(y < 0\) на \((2{,}5;\ 3]\).
Убывает на \((-\infty;\ 1]\) и на \([2;\ 3]\), возрастает на \([1;\ 2]\).
Наименьшее значение \(-1\) (при \(x = 3\)), наибольшего нет.
Ответ
D = (−∞; 3]; E = [−1; +∞); нули 1 и 2,5; y > 0 на (−∞; 1) и (1; 2,5), y < 0 на (2,5; 3]; убывает на (−∞; 1] и [2; 3], возрастает на [1; 2]; наименьшее значение −1, наибольшего нет
Почему так
Свойства читаются по графику, составленному из части параболы и отрезка прямой; на стыке x = 2 обе части дают значение 1.
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).