Задача 1
С помощью графиков найти приближённое значение корня уравнения √x = 2/x.
Решение
Построим в одной системе координат графики \(y = \sqrt{x}\) и \(y = \dfrac{2}{x}\). Корень уравнения — абсцисса их точки пересечения.
| \(x\) | \(1\) | \(1{,}5\) | \(2\) | \(4\) |
|---|---|---|---|---|
| \(\sqrt{x}\) | \(1\) | \(\approx 1{,}22\) | \(\approx 1{,}41\) | \(2\) |
| \(\dfrac{2}{x}\) | \(2\) | \(\approx 1{,}33\) | \(1\) | \(0{,}5\) |
При \(x < 0\) корень не определён, а при \(x > 0\) функция \(\sqrt{x}\) возрастает, а \(\dfrac{2}{x}\) убывает, поэтому точка пересечения одна. По таблице она между \(1{,}5\) и \(2\), ближе к \(1{,}5\); по графику \(x \approx 1{,}6\).
Проверка: \(\sqrt{1{,}6} \approx 1{,}26\), \(\dfrac{2}{1{,}6} = 1{,}25\) — значения почти равны. (Точно: \(x\sqrt{x} = 2\), \(x = \sqrt[3]{4} \approx 1{,}587\).)
Ответ
Корень уравнения f(x) = g(x) — абсцисса точки пересечения графиков; возрастающая и убывающая функции пересекаются не более одного раза.
Подробнее — в теме «Свойства функций y = k/x и y = √x».