Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 1166

Задача 1

Условие (кратко)

а) Графики y = x, y = x², y = x³, y = √x в первой четверти. Указать координаты точек, общих для всех этих графиков.

Решение

Построим графики в первой четверти по точкам:

$$x$$	$$0$$	$$0{,}5$$	$$1$$	$$1{,}5$$	$$2$$
$\sqrt{x}$	$$0$$	$\approx 0{,}71$	$$1$$	$\approx 1{,}22$	$\approx 1{,}41$
$$x$$	$$0$$	$$0{,}5$$	$$1$$	$$1{,}5$$	$$2$$
$$x^2$$	$$0$$	$$0{,}25$$	$$1$$	$$2{,}25$$	$$4$$
$$x^3$$	$$0$$	$$0{,}125$$	$$1$$	$$3{,}375$$	$$8$$

При $$x = 0$$ все четыре функции равны $$0$$ , при $$x = 1$$ — все равны $$1$$ . Других общих точек нет: например, $$x^2 = x$$ только при $$x = 0$$ и $$x = 1$$ .

Общие точки: $(0;\ 0)$ и $(1;\ 1)$ .

Ответ

(0; 0) и (1; 1)

Почему так

Числа 0 и 1 при возведении в любую степень и извлечении корня не меняются.

Подробнее — в теме «Свойства функций y = k/x и y = √x».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Описать взаимное расположение графиков y = x, y = x², y = x³, y = √x на отрезке [0; 1] и на луче [1; +∞).

Решение

На $[0;\ 1]$ при $$0 < x < 1$$ каждое умножение на $$x$$ уменьшает число, а корень увеличивает его (например, при $$x = 0{,}5$$ получаем $$0{,}125 < 0{,}25 < 0{,}5 < 0{,}71$$ ):

x^3 < x^2 < x < \sqrt{x}.

Выше всех — график $y = \sqrt{x}$ , ниже него прямая $$y = x$$ , ещё ниже парабола $$y = x^2$$ , ниже всех — $$y = x^3$$ . На концах отрезка графики сходятся в точках $(0;\ 0)$ и $(1;\ 1)$ .

На $[1;\ +\infty)$ при $$x > 1$$ порядок обратный (например, при $$x = 2$$ получаем $$1{,}41 < 2 < 4 < 8$$ ):

\sqrt{x} < x < x^2 < x^3.

Выше всех — $$y = x^3$$ , затем $$y = x^2$$ , $$y = x$$ , ниже всех — $y = \sqrt{x}$ .

Ответ

На [0; 1]: снизу вверх x³, x², x, √x (x³ ≤ x² ≤ x ≤ √x). На [1; +∞): снизу вверх √x, x, x², x³ (√x ≤ x ≤ x² ≤ x³)

Почему так

Для чисел от 0 до 1 возведение в большую степень уменьшает число, для чисел больше 1 — увеличивает.

Подробнее — в теме «Свойства функций y = k/x и y = √x».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Глядя на рисунок, расположить в порядке возрастания числа 0,37; 0,37²; 0,37³; √0,37.

Решение

Число $$0{,}37$$ лежит на отрезке $[0;\ 1]$ . Там график $$y = x^3$$ ниже всех, затем $$y = x^2$$ , $$y = x$$ , выше всех $y = \sqrt{x}$ . Значит,

0{,}37^3 < 0{,}37^2 < 0{,}37 < \sqrt{0{,}37}.

Проверка: $0{,}37^3 \approx 0{,}051$ , $0{,}37^2 = 0{,}1369$ , $\sqrt{0{,}37} \approx 0{,}61$ .

Ответ

0,37³; 0,37²; 0,37; √0,37

Почему так

Для числа между 0 и 1 чем больше показатель степени, тем меньше значение, а корень больше самого числа.

Подробнее — в теме «Свойства функций y = k/x и y = √x».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Расположить в порядке убывания числа 4,6; 4,6²; 4,6³; √4,6.

Решение

Число $$4{,}6 > 1$$ , а на луче $[1;\ +\infty)$ выше всех график $$y = x^3$$ , затем $$y = x^2$$ , $$y = x$$ , ниже всех $y = \sqrt{x}$ . Значит, в порядке убывания:

4{,}6^3 > 4{,}6^2 > 4{,}6 > \sqrt{4{,}6}.

Проверка: $4{,}6^3 = 97{,}336$ , $4{,}6^2 = 21{,}16$ , $\sqrt{4{,}6} \approx 2{,}14$ .

Ответ

4,6³; 4,6²; 4,6; √4,6

Почему так

Для числа больше 1 чем больше показатель степени, тем больше значение, а корень меньше самого числа.

Подробнее — в теме «Свойства функций y = k/x и y = √x».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-5/upr-1166/

$\(x\)$	$\(0\)$	$\(0{,}5\)$	$\(1\)$	$\(1{,}5\)$	$\(2\)$
$\sqrt{x}$	$\(0\)$	$\approx 0{,}71$	$\(1\)$	$\approx 1{,}22$	$\approx 1{,}41$
$\(x\)$	$\(0\)$	$\(0{,}5\)$	$\(1\)$	$\(1{,}5\)$	$\(2\)$
$\(x^2\)$	$\(0\)$	$\(0{,}25\)$	$\(1\)$	$\(2{,}25\)$	$\(4\)$
$\(x^3\)$	$\(0\)$	$\(0{,}125\)$	$\(1\)$	$\(3{,}375\)$	$\(8\)$