Задача 1
Построить в одной системе координат графики y = 1/x, y = 4/x, y = −2/x, y = −6/x. Как расположение графика y = k/x зависит от модуля k?
Решение
Составим таблицы для положительных \(x\) (при отрицательных \(x\) значения противоположны — графики симметричны относительно начала координат):
| \(x\) | \(0{,}5\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(2\) | \(1\) | \(0{,}5\) | \(\approx 0{,}33\) | \(0{,}25\) |
| \(\dfrac{4}{x}\) | \(8\) | \(4\) | \(2\) | \(\approx 1{,}33\) | \(1\) |
| \(-\dfrac{2}{x}\) | \(-4\) | \(-2\) | \(-1\) | \(\approx -0{,}67\) | \(-0{,}5\) |
| \(-\dfrac{6}{x}\) | \(-12\) | \(-6\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1{,}5\) |
Графики \(y = \dfrac{1}{x}\) и \(y = \dfrac{4}{x}\) (\(k > 0\)) — гиперболы в I и III четвертях, \(y = -\dfrac{2}{x}\) и \(y = -\dfrac{6}{x}\) (\(k < 0\)) — во II и IV четвертях.
Сравним ближайшие к началу координат точки ветвей: у \(y = \dfrac{1}{x}\) это \((1;\ 1)\), у \(y = \dfrac{4}{x}\) — \((2;\ 2)\); у \(y = -\dfrac{2}{x}\) — \((\sqrt{2};\ -\sqrt{2})\), у \(y = -\dfrac{6}{x}\) — \((\sqrt{6};\ -\sqrt{6})\).
Вывод: знак \(k\) определяет четверти, а чем больше \(|k|\), тем дальше ветви гиперболы от начала координат и от осей; чем меньше \(|k|\), тем ближе ветви «прижаты» к осям.
Ответ
При одном и том же x значение |k/x| растёт вместе с |k|, поэтому ветви отходят от осей.
Подробнее — в теме «Свойства функций y = k/x и y = √x».