Упражнение 18 к § 1

При любом \(x\) имеем \(x^2 \ge 0\), поэтому \(x^2 + 1 \ge 1 > 0\).

Числитель \(3 > 0\) и знаменатель положителен, значит, \(\dfrac{3}{x^2 + 1} > 0\) при любом \(x\).

\(y^2 \ge 0\), поэтому \(y^2 + 4 \ge 4 > 0\).

Числитель \(-5 < 0\), знаменатель положителен, значит, \(\dfrac{-5}{y^2 + 4} < 0\) при любом \(y\).

Числитель \((a - 1)^2 \ge 0\) (квадрат), он равен нулю при \(a = 1\).

Знаменатель \(a^2 + 10 \ge 10 > 0\).

Частное неотрицательного и положительного чисел неотрицательно: \(\dfrac{(a - 1)^2}{a^2 + 10} \ge 0\).

Числитель \((b - 3)^2 \ge 0\).

Знаменатель \(-b^2 - 1 = -(b^2 + 1)\), а \(b^2 + 1 \ge 1\), значит, знаменатель \(\le -1 < 0\).

Частное неотрицательного и отрицательного чисел неположительно: \(\dfrac{(b - 3)^2}{-b^2 - 1} \le 0\) (равно нулю при \(b = 3\)).