Упражнение 21 к § 1

Выделим в знаменателе квадрат суммы:

Так как \((2x + y)^2 \ge 0\), знаменатель не меньше \(9\) и равен \(9\), когда \(y = -2x\) (например, \(x = 1\), \(y = -2\)).

Значит, наибольшее значение дроби \(\dfrac{18}{9} = 2\), а не \(1\).

\(4x^2 + 4xy + y^2 + 9 = (2x + y)^2 + 9 \ge 9\).

Наименьший знаменатель \(9\) получается при \(y = -2x\), тогда дробь равна \(\dfrac{18}{9} = 2\). Больше \(2\) дробь быть не может, так как знаменатель не бывает меньше \(9\).

Утверждение верно.

Знаменатель \((2x + y)^2 + 9\) может быть сколь угодно большим, тогда дробь положительна, но сколь угодно близка к нулю. Например, при \(x = 0\), \(y = 3\) дробь равна \(\dfrac{18}{18} = 1 < 2\).

Число \(2\) — наибольшее значение дроби, а наименьшего значения у неё нет. Утверждение неверно.