Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 1

Упражнение 23 к § 1

§ 1. Рациональные выражения · тема: Рациональные выражения

Задача 1

Условие (кратко)

а) Разложить на множители x² − 25.

Решение

\[x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x - 5)(x + 5).\]

Ответ

(x − 5)(x + 5)

Почему так

Разность квадратов равна произведению разности и суммы.

Задача 2

Условие (кратко)

б) Разложить на множители 16 − c².

Решение

\[16 - c^2 = 4^2 - c^2 = (4 - c)(4 + c).\]

Ответ

(4 − c)(4 + c)

Почему так

Разность квадратов равна произведению разности и суммы.

Задача 3

Условие (кратко)

в) Разложить на множители a² − 6a + 9.

Решение

$a^2 - 6a + 9 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2$ — это квадрат разности:

\[a^2 - 6a + 9 = (a - 3)^2.\]

Ответ

(a − 3)²

Почему так

Трёхчлен вида m² − 2mn + n² — квадрат разности.

Задача 4

Условие (кратко)

г) Разложить на множители x² + 8x + 16.

Решение

$x^2 + 8x + 16 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2$ — квадрат суммы:

\[x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2.\]

Ответ

(x + 4)²

Почему так

Трёхчлен вида m² + 2mn + n² — квадрат суммы.

Задача 5

Условие (кратко)

д) Разложить на множители a³ − 8.

Решение

По формуле разности кубов $$m^3 - n^3 = (m - n)(m^2 + mn + n^2)$$ :

\[a^3 - 8 = a^3 - 2^3 = (a - 2)(a^2 + 2a + 4).\]

Ответ

(a − 2)(a² + 2a + 4)

Почему так

Разность кубов раскладывается по формуле m³ − n³ = (m − n)(m² + mn + n²).

Задача 6

Условие (кратко)

е) Разложить на множители b³ + 27.

Решение

По формуле суммы кубов $$m^3 + n^3 = (m + n)(m^2 - mn + n^2)$$ :

\[b^3 + 27 = b^3 + 3^3 = (b + 3)(b^2 - 3b + 9).\]

Ответ

(b + 3)(b² − 3b + 9)

Почему так

Сумма кубов раскладывается по формуле m³ + n³ = (m + n)(m² − mn + n²).

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Задача 6

Похожие задачи для тренировки