Задача 1
Условие (кратко)
Рациональна ли сумма a + b, где a = 1,323223222… (группы из одной, двух, трёх… двоек разделены тройками), b = 2,313113111… (группы единиц разделены тройками)?
Решение
Запишем дроби одну под другой — тройки стоят в одинаковых разрядах, а на местах двоек числа \(a\) у числа \(b\) стоят единицы:
\(a = 1{,}3\,2\,3\,22\,3\,222\,3\ldots\)
\(b = 2{,}3\,1\,3\,11\,3\,111\,3\ldots\)
Складываем поразрядно: \(3 + 3 = 6\), \(2 + 1 = 3\), переносов нет:
\(a + b = 3{,}636336333633336\ldots\)
Группы из одной, двух, трёх… троек разделяются шестёрками, длина групп растёт, поэтому периода нет. Дробь бесконечная непериодическая — число иррациональное.
Ответ
Иррациональным: a + b = 3,636336333…
Почему так
Бесконечная непериодическая десятичная дробь — иррациональное число.
Подробнее — в теме «Действительные числа».