Задача 1
Условие (кратко)
Известно, что a², b², a − b — рациональные числа и a ≠ b. Рациональна ли сумма a + b?
Решение
Так как \(a \ne b\), то \(a - b \ne 0\), и можно записать
\[a + b = \dfrac{(a + b)(a - b)}{a - b} = \dfrac{a^2 - b^2}{a - b}.\]
Числа \(a^2\) и \(b^2\) рациональны, значит, их разность \(a^2 - b^2\) рациональна. Частное двух рациональных чисел (делитель \(a - b \ne 0\)) — рациональное число. Поэтому \(a + b\) рационально.
Ответ
Рациональным числом
Почему так
Сумма, разность, произведение и частное рациональных чисел рациональны; a + b = (a² − b²)/(a − b).
Подробнее — в теме «Действительные числа».