Задача 1
Найти цифры разрядов единиц, десятых, сотых в десятичной записи иррациональных чисел √3, √5, √6.
Решение
Будем последовательно зажимать каждый корень между квадратами.
Для \(\sqrt{3}\) имеем \(1^2 = 1 < 3 < 4 = 2^2\); \(1{,}7^2 = 2{,}89 < 3 < 3{,}24 = 1{,}8^2\); \(1{,}73^2 = 2{,}9929 < 3 < 3{,}0276 = 1{,}74^2\). Значит, \(\sqrt{3} = 1{,}73\ldots\)
Для \(\sqrt{5}\) имеем \(2^2 = 4 < 5 < 9 = 3^2\); \(2{,}2^2 = 4{,}84 < 5 < 5{,}29 = 2{,}3^2\); \(2{,}23^2 = 4{,}9729 < 5 < 5{,}0176 = 2{,}24^2\). Значит, \(\sqrt{5} = 2{,}23\ldots\)
Для \(\sqrt{6}\) имеем \(2^2 = 4 < 6 < 9 = 3^2\); \(2{,}4^2 = 5{,}76 < 6 < 6{,}25 = 2{,}5^2\); \(2{,}44^2 = 5{,}9536 < 6 < 6{,}0025 = 2{,}45^2\). Значит, \(\sqrt{6} = 2{,}44\ldots\)
Ответ
Каждую следующую цифру находят, возводя в квадрат десятичные дроби, пока квадрат не превысит подкоренное число.
Подробнее — в теме «Приближённые значения квадратного корня».