Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Квадратный корень из числа, которое не является точным квадратом, — бесконечная непериодическая дробь. Его находят приближённо: сначала зажимают между соседними целыми, затем уточняют по одной цифре или берут калькулятор и округляют.
Подробное объяснение
Вы хотите выложить плиткой квадратную площадку в 40 м². Какой длины будет сторона? Нужно число, квадрат которого равен 40. Целого такого числа нет: \(6^2 = 36\) мало, \(7^2 = 49\) много. Значит, сторона больше 6 м, но меньше 7 м. Уже полезно: доски по 6 м не хватит, а 7 м хватит с запасом. Так и работает приближённое нахождение корня.
Оценка между соседними квадратами
Чем больше неотрицательное число, тем больше его квадрат, и наоборот. Поэтому если \(a^2 < x < b^2\), где \(a\) и \(b\) неотрицательны, то \(a < \sqrt{x} < b\).
Чтобы оценить \(\sqrt{x}\), вспомните квадраты целых чисел: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225… Найдите два соседних, между которыми лежит \(x\). Например, \(100 < 110 < 121\), поэтому \(10 < \sqrt{110} < 11\), и \(\sqrt{110} = 10,\ldots\)
Для дробей то же самое, только квадраты десятичные: \(0{,}3^2 = 0{,}09\), \(0{,}4^2 = 0{,}16\). Раз \(0{,}09 < 0{,}1 < 0{,}16\), то \(0{,}3 < \sqrt{0{,}1} < 0{,}4\). Обратите внимание: корень из числа меньше 1 больше самого числа.
Последовательное уточнение
Когда целая часть известна, ищем цифру десятых. Возводим в квадрат 10,1; 10,2; 10,3; … пока квадрат не станет больше подкоренного числа. Для 110: \(10{,}4^2 = 108{,}16\), \(10{,}5^2 = 110{,}25\). Значит, \(\sqrt{110} = 10{,}4\ldots\) Дальше так же ищем сотые: 10,41; 10,42; … Каждый шаг добавляет одну верную цифру. Так корень можно найти с любой точностью — просто это долго.
Удобная хитрость: начинайте не с первой цифры, а с той, что кажется ближе. Число 110 почти равно \(10{,}5^2\), поэтому цифру десятых ищем рядом с 5.
Калькулятор
На практике корни извлекают калькулятором: набирают число и нажимают клавишу √. Например, \(\sqrt{110} = 10{,}48808\ldots\) Калькулятор тоже показывает приближение — у него ограничено число разрядов на экране.
Округление
Ответ обычно просят «с точностью до 0,1» или «до 0,01». Правило обычное: смотрим на следующую цифру. Если она 0–4, отбрасываем хвост; если 5–9, последнюю оставленную цифру увеличиваем на 1. Пишем знак ≈: \(\sqrt{110} \approx 10{,}5\) (до десятых), \(\sqrt{110} \approx 10{,}49\) (до сотых).
Если корень находили уточнением, для округления до десятых нужна цифра сотых, а до сотых — цифра тысячных. Запись \(\sqrt{x} = 10{,}4\ldots\) говорит только, что корень между 10,4 и 10,5.
Как решать
- Найдите соседние точные квадраты, между которыми лежит подкоренное число, — получите целую часть корня.
- Если нужно точнее, возводите в квадрат числа с одной цифрой после запятой, пока квадрат не перескочит подкоренное число, — получите цифру десятых.
- Так же найдите следующие цифры — на одну больше, чем требует точность.
- Если разрешён калькулятор, наберите число и нажмите √.
- Округлите до нужного разряда по следующей цифре и запишите ответ со знаком ≈.
Разобранные примеры
Целая часть корня
Между какими двумя последовательными целыми числами заключено число \(\sqrt{200}\)?
\(14^2 = 196\), \(15^2 = 225\). Так как \(196 < 200 < 225\), то \(14 < \sqrt{200} < 15\).
Корень с точностью до сотых без калькулятора
Найдите \(\sqrt{30}\) с точностью до 0,01, не пользуясь калькулятором.
\(5^2 = 25 < 30 < 36 = 6^2\), значит, \(\sqrt{30} = 5,\ldots\)
\(5{,}4^2 = 29{,}16 < 30 < 30{,}25 = 5{,}5^2\), значит, \(\sqrt{30} = 5{,}4\ldots\)
\(5{,}47^2 = 29{,}9209 < 30 < 30{,}0304 = 5{,}48^2\), значит, \(\sqrt{30} = 5{,}47\ldots\)
Для округления нужна цифра тысячных: \(5{,}477^2 = 29{,}997529 < 30 < 30{,}008484 = 5{,}478^2\), значит, \(\sqrt{30} = 5{,}477\ldots\) Цифра тысячных 7, поэтому сотые увеличиваем: \(\sqrt{30} \approx 5{,}48\).
Задача с калькулятором
Квадратная грядка занимает 50 м². Хватит ли 28 м сетки, чтобы обнести её забором? Найдите сторону грядки с точностью до 0,1 м.
Сторона \(a = \sqrt{50}\). Калькулятор показывает \(7{,}0710\ldots\), поэтому \(a \approx 7{,}1\) м.
Периметр \(P = 4a = 4\sqrt{50} = 28{,}28\ldots\) м. Это больше 28 м, так что сетки не хватит. Заметим: если взять округлённую сторону 7,1 м, получим 28,4 м — вывод тот же, но сравнивать надёжнее до округления.
Типичные ошибки
Нашли, что \(2{,}82^2 < 8 < 2{,}83^2\), и пишут \(\sqrt{8} \approx 2{,}82\). Но запись \(\sqrt{8} = 2{,}82\ldots\) говорит только, что корень между 2,82 и 2,83; ближе он может быть к любому концу. На самом деле \(\sqrt{8} = 2{,}828\ldots\), и правильное округление — 2,83.
Найдите цифру на один разряд дальше нужного и только потом округляйте.
Пишут \(\sqrt{0{,}4} = 0{,}2\), потому что \(\sqrt{4} = 2\). Но \(0{,}2^2 = 0{,}04\), а не 0,4. Запятая «съезжает» при возведении в квадрат.
Проверяйте возведением в квадрат: \(0{,}6^2 = 0{,}36 < 0{,}4 < 0{,}49 = 0{,}7^2\), значит, \(\sqrt{0{,}4} = 0{,}6\ldots\)
Кажется, что \(\sqrt{50}\) — это примерно 25. Но \(25^2 = 625\), а не 50. Квадратный корень — не половина числа.
Опирайтесь на таблицу квадратов: \(49 < 50 < 64\), значит, \(\sqrt{50}\) чуть больше 7.
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Между какими целыми числами лежит \(\sqrt{50}\)?
Показать ответ
Ответ: Б) Между 7 и 8
\(7^2 = 49 < 50 < 64 = 8^2\), поэтому \(7 < \sqrt{50} < 8\).
-
Чему равна цифра десятых в десятичной записи \(\sqrt{0{,}5}\)?
Показать ответ
Ответ: В) 7
\(0{,}7^2 = 0{,}49 < 0{,}5 < 0{,}64 = 0{,}8^2\), значит, \(\sqrt{0{,}5} = 0{,}7\ldots\)
-
Калькулятор показал \(\sqrt{11} = 3{,}31662\ldots\) Запишите \(\sqrt{11}\) с точностью до 0,01.
Показать ответ
Ответ: 3,32
Цифра тысячных 6 — больше 4, поэтому сотые увеличиваем на 1 — получаем \(3{,}32\).
-
Какие неравенства верны?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) \(\sqrt{30} > 5\); В) \(\sqrt{2{,}5} < 1{,}6\); Г) \(\sqrt{0{,}1} > 0{,}3\)
\(5^2 = 25 < 30\); \(9^2 = 81 > 80\), поэтому второе неверно; \(1{,}6^2 = 2{,}56 > 2{,}5\); \(0{,}3^2 = 0{,}09 < 0{,}1\).
-
Известно, что \(4{,}24^2 < 18 < 4{,}25^2\). Что можно утверждать?
Показать ответ
Ответ: А) \(\sqrt{18} = 4{,}24\ldots\)
Корень лежит между 4,24 и 4,25, значит, его запись начинается с 4,24; чтобы округлить до сотых, нужна ещё цифра тысячных.
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Между какими двумя последовательными целыми числами заключено число \(\sqrt{73}\)?
Подсказка
Найдите соседние точные квадраты, между которыми лежит 73.
Решение
\(8^2 = 64 < 73 < 81 = 9^2\), поэтому \(8 < \sqrt{73} < 9\).
Ответ
Найдите с помощью калькулятора \(\sqrt{43}\) с точностью до 0,1.
Подсказка
Нажмите 43 и клавишу √, затем округлите до десятых.
Решение
Калькулятор показывает \(\sqrt{43} = 6{,}557\ldots\) Цифра сотых 5, поэтому десятые увеличиваем на 1: \(\sqrt{43} \approx 6{,}6\).
Ответ
Найдите цифры единиц и десятых числа \(\sqrt{12}\), не пользуясь калькулятором.
Подсказка
Сначала найдите целую часть, затем возводите в квадрат 3,1; 3,2; 3,3; …
Решение
\(3^2 = 9 < 12 < 16 = 4^2\), значит, \(\sqrt{12} = 3,\ldots\)
\(3{,}4^2 = 11{,}56 < 12\), \(3{,}5^2 = 12{,}25 > 12\), значит, \(3{,}4 < \sqrt{12} < 3{,}5\) и \(\sqrt{12} = 3{,}4\ldots\)
Ответ
Площадь квадратной комнаты 23 м². Найдите длину её стены с точностью до 0,01 м.
Подсказка
Сторона квадрата равна корню из площади.
Решение
\(a = \sqrt{23} = 4{,}7958\ldots\) Цифра тысячных 5, поэтому сотые увеличиваем: \(a \approx 4{,}80\) м.
Ответ
Какое целое число ближе всего к \(\sqrt{90}\)? Решите без калькулятора.
Подсказка
Найдите соседние квадраты, а потом сравните 90 с квадратом середины между ними.
Решение
\(9^2 = 81 < 90 < 100 = 10^2\), значит, \(9 < \sqrt{90} < 10\).
Середина отрезка — \(9{,}5\), а \(9{,}5^2 = 90{,}25 > 90\). Значит, \(\sqrt{90} < 9{,}5\), и ближайшее целое — 9.
Ответ
Найдите \(\sqrt{7}\) с точностью до 0,01 без калькулятора, последовательно уточняя цифры.
Подсказка
Для округления до сотых нужна ещё и цифра тысячных.
Решение
\(2^2 = 4 < 7 < 9 = 3^2\), значит, \(\sqrt{7} = 2,\ldots\)
\(2{,}6^2 = 6{,}76 < 7 < 7{,}29 = 2{,}7^2\), значит, \(\sqrt{7} = 2{,}6\ldots\)
\(2{,}64^2 = 6{,}9696 < 7 < 7{,}0225 = 2{,}65^2\), значит, \(\sqrt{7} = 2{,}64\ldots\)
\(2{,}645^2 = 6{,}996025 < 7 < 7{,}001316 = 2{,}646^2\), значит, \(\sqrt{7} = 2{,}645\ldots\)
Цифра тысячных 5, поэтому \(\sqrt{7} \approx 2{,}65\).
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Нарисуйте на клетчатой бумаге квадраты 6×6 и 7×7 и спросите: какой будет сторона квадрата из 40 клеток? Ребёнок увидит, что она между 6 и 7. Потом вместе возведите в квадрат 6,3 и 6,4 на калькуляторе — станет ясно, что \(\sqrt{40} = 6{,}3\ldots\) Дальше покажите клавишу √ и проверьте ответ.
Вопросы для проверки понимания: 1) Между какими целыми числами лежит \(\sqrt{60}\)? 2) Почему \(\sqrt{0{,}9}\) больше 0,9? 3) Сколько цифр после запятой нужно знать, чтобы округлить корень до сотых?
На что обратить внимание. Полезно знать наизусть квадраты чисел до 20 — без них оценки идут медленно. Следите, чтобы ребёнок ставил знак ≈, а не =, и не путал «точность до 0,1» с «одной значащей цифрой».