Задача 1
Условие (кратко)
Доказать, что графики функций y = √x и y = x + 0,5 не имеют общих точек.
Решение
Общая точка возможна только при \(x \ge 0\). Покажем, что при любом \(x \ge 0\) значение \(x + 0{,}5\) больше \(\sqrt{x}\).
Так как \(x = (\sqrt{x})^2\), разность можно преобразовать, выделив квадрат разности:
\[x + 0{,}5 - \sqrt{x} = (\sqrt{x})^2 - 2 \cdot \sqrt{x} \cdot \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} = \left(\sqrt{x} - \dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{1}{4}.\]
Квадрат неотрицателен, поэтому разность не меньше \(\dfrac{1}{4}\), то есть всегда положительна: \(x + 0{,}5 > \sqrt{x}\). Значит, равенство \(\sqrt{x} = x + 0{,}5\) невозможно, и графики общих точек не имеют — прямая всё время проходит выше графика корня.
Ответ
Доказано, так как x + 0,5 − √x = (√x − 1/2)² + 1/4 > 0, поэтому общих точек нет
Почему так
Разность значений функций представлена как квадрат плюс положительное число.
Подробнее — в теме «Функция y = √x и её график».