Упражнение 353 к § 14

Нужно решить \(\sqrt{x} = x\) при \(x \ge 0\). Возведём обе части в квадрат (обе неотрицательны): \(x = x^2\), то есть \(x(x - 1) = 0\), откуда \(x = 0\) или \(x = 1\).

Проверка: \(\sqrt{0} = 0\), \(\sqrt{1} = 1\). Общие точки: \((0;\ 0)\) и \((1;\ 1)\). Это видно и на графиках: прямая \(y = x\) пересекает ветвь корня в начале координат и в точке \((1;\ 1)\).

\(\sqrt{x} = 1000\) при \(x = 1000^2 = 1\,000\,000\). Общая точка \((1\,000\,000;\ 1000)\).

При \(x \ge 0\) выделим квадрат:

Значит, \(x + 10 > \sqrt{x}\) при всех \(x \ge 0\): прямая проходит выше графика корня, общих точек нет.

Функция \(y = \sqrt{x}\) возрастает, а \(y = -x + 1{,}5\) убывает, поэтому общая точка не более чем одна.

При \(x = 0\) имеем \(\sqrt{0} = 0 < 1{,}5\), а при \(x = 1\) имеем \(\sqrt{1} = 1 > 0{,}5\). Значит, графики пересекаются между \(x = 0\) и \(x = 1\).

Строим оба графика в одной системе координат. Точка пересечения примерно \((0{,}7;\ 0{,}8)\): \(\sqrt{0{,}7} \approx 0{,}84\), а \(-0{,}7 + 1{,}5 = 0{,}8\) — значения почти совпадают.

Точные координаты, которые можно будет найти после изучения квадратных уравнений: \(x = 2 - \dfrac{\sqrt{7}}{2} \approx 0{,}68\), \(y = \dfrac{\sqrt{7} - 1}{2} \approx 0{,}82\).

Не пересекает: \(y = x + 1\), так как \(x + 1 - \sqrt{x} = \left(\sqrt{x} - \dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{3}{4} > 0\). Подойдёт и любая прямая ниже оси \(x\) при \(x \ge 0\), например \(y = -x - 1\).

Одна точка: \(y = 2\) — пересечение в точке \((4;\ 2)\); или \(y = -x + 2\) — в точке \((1;\ 1)\).

Две точки: \(y = 0{,}5x\). Проверим: при \(x = 0\) обе функции равны \(0\), при \(x = 4\) получаем \(\sqrt{4} = 2\) и \(0{,}5 \cdot 4 = 2\). Общие точки \((0;\ 0)\) и \((4;\ 2)\). Ещё пример — \(y = x\) с точками \((0;\ 0)\) и \((1;\ 1)\).