§ 15. Квадратный корень из произведения и дроби · тема: Квадратный корень из произведения и дроби
а) Извлечь корень √(17² − 8²).
\(17^2 - 8^2 = (17 - 8)(17 + 8) = 9 \cdot 25\).
\(\sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{25} = 3 \cdot 5 = 15\).
Разность квадратов под корнем раскладывают на множители a² − b² = (a − b)(a + b), затем извлекают корень из произведения.
Подробнее — в теме «Квадратный корень из произведения и дроби».
б) Извлечь корень √(3² + 4²).
Под корнем сумма, правило для произведения здесь не нужно — вычислим её:
\(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\), поэтому \(\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\).
Корень из суммы не равен сумме корней: сначала вычисляют подкоренное выражение.
Подробнее — в теме «Квадратный корень из произведения и дроби».
в) Извлечь корень √(82² − 18²).
\(82^2 - 18^2 = (82 - 18)(82 + 18) = 64 \cdot 100\).
\(\sqrt{82^2 - 18^2} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{100} = 8 \cdot 10 = 80\).
Разность квадратов под корнем раскладывают на множители a² − b² = (a − b)(a + b), затем извлекают корень из произведения.
Подробнее — в теме «Квадратный корень из произведения и дроби».
г) Извлечь корень √(117² − 108²).
\(117^2 - 108^2 = (117 - 108)(117 + 108) = 9 \cdot 225\).
\(\sqrt{117^2 - 108^2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{225} = 3 \cdot 15 = 45\).
Разность квадратов под корнем раскладывают на множители a² − b² = (a − b)(a + b), затем извлекают корень из произведения.
Подробнее — в теме «Квадратный корень из произведения и дроби».
д) Извлечь корень √(6,8² − 3,2²).
\(6{,}8^2 - 3{,}2^2 = (6{,}8 - 3{,}2)(6{,}8 + 3{,}2) = 3{,}6 \cdot 10 = 36\).
\(\sqrt{6{,}8^2 - 3{,}2^2} = \sqrt{36} = 6\).
Разность квадратов под корнем раскладывают на множители a² − b² = (a − b)(a + b), затем извлекают корень из произведения.
Подробнее — в теме «Квадратный корень из произведения и дроби».
е) Извлечь корень √((1 1/16)² − (1/2)²).
\(1\dfrac{1}{16} = \dfrac{17}{16}\), \(\dfrac{1}{2} = \dfrac{8}{16}\).
\(\left(\dfrac{17}{16}\right)^2 - \left(\dfrac{8}{16}\right)^2 = \left(\dfrac{17}{16} - \dfrac{8}{16}\right)\left(\dfrac{17}{16} + \dfrac{8}{16}\right) = \dfrac{9}{16} \cdot \dfrac{25}{16}\).
\(\sqrt{\dfrac{9}{16} \cdot \dfrac{25}{16}} = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{5}{4} = \dfrac{15}{16}\).
Разность квадратов под корнем раскладывают на множители a² − b² = (a − b)(a + b), затем извлекают корень из произведения.
Подробнее — в теме «Квадратный корень из произведения и дроби».
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).
УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/p15/upr-370/