Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из них. Корень из дроби с неотрицательным числителем и положительным знаменателем равен корню из числителя, делённому на корень из знаменателя. Эти равенства работают в обе стороны: ими извлекают корни и ими же умножают и делят корни.
Подробное объяснение
Пример из жизни
Квадратную площадку выложили 16 одинаковыми квадратными плитами, площадь каждой 0,25 м². Какова сторона площадки? Площадь равна \(16 \cdot 0{,}25\) м², значит, сторона равна \(\sqrt{16 \cdot 0{,}25}\) м. Но можно рассуждать иначе: плиты лежат квадратом \(4 \times 4\), а сторона одной плиты \(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\) м. Значит, сторона площадки \(4 \cdot 0{,}5 = 2\) м. Получилось, что
Корень из произведения
Это не совпадение. Если \(a \ge 0\) и \(b \ge 0\), то число \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) неотрицательно, а его квадрат равен \((\sqrt{a})^2 \cdot (\sqrt{b})^2 = ab\). По определению арифметического корня это и есть \(\sqrt{ab}\). То же верно для трёх и более множителей: \(\sqrt{abc} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c}\).
Правило выручает, когда число под корнем большое, но раскладывается на «хорошие» множители: \(\sqrt{900 \cdot 0{,}49} = 30 \cdot 0{,}7 = 21\).
Корень из дроби
Похожее правило есть для дроби: при \(a \ge 0\) и \(b > 0\)
Правила в обратную сторону
Если прочитать равенства справа налево, получится, как умножать и делить корни:
Чего делать нельзя
Для суммы и разности таких правил нет: \(\sqrt{9 + 16} = 5\), а \(\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7\). Если под корнем разность квадратов, её сначала раскладывают на множители: \(\sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{18 \cdot 32} = \sqrt{576} = 24\).
Как решать
- Посмотрите, что стоит под корнем: произведение, дробь, смешанное число или сумма.
- Смешанное число переведите в неправильную дробь, десятичную дробь при необходимости — в обыкновенную. Сумму или разность сначала вычислите или разложите на множители.
- Если множители — точные квадраты, извлеките корень из каждого и перемножьте (поделите) результаты.
- Если корни по отдельности не извлекаются, сделайте наоборот: соберите произведение или частное под одним корнем и посмотрите, не получился ли квадрат.
- Большое число разложите на множители-квадраты, например \(2025 = 81 \cdot 25\).
- Если в выражении есть переменные, проверьте условия: под корнем неотрицательные выражения, в знаменателе не ноль.
Разобранные примеры
Корень из произведения
Найдите значение выражения \(\sqrt{0{,}81 \cdot 400}\).
Оба множителя — квадраты: \(0{,}81 = 0{,}9^2\), \(400 = 20^2\). Поэтому
Деление корней
Найдите значение частного \(\dfrac{\sqrt{98}}{\sqrt{8}}\).
Ни 98, ни 8 не являются квадратами, поэтому объединим корни:
Корень из разности квадратов
Вычислите \(\sqrt{8{,}5^2 - 7{,}5^2}\).
Разложим разность квадратов на множители:
Типичные ошибки
Пишут \(\sqrt{36 + 64} = 6 + 8 = 14\). Правило \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) относится только к произведению. Для суммы оно не работает: на самом деле \(\sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\).
Сначала вычислите сумму или разность под корнем. Если числа большие, разложите разность квадратов на множители: \(\sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{(a - b)(a + b)}\).
Пишут \(\sqrt{6\dfrac{1}{4}} = 6\dfrac{1}{2}\), извлекая корень отдельно из дробной части. Но смешанное число — это сумма \(6 + \dfrac{1}{4}\), а не произведение. Проверка: \(\left(6\dfrac{1}{2}\right)^2 = 42\dfrac{1}{4}\), совсем не \(6\dfrac{1}{4}\).
Переведите в неправильную дробь: \(6\dfrac{1}{4} = \dfrac{25}{4}\), тогда \(\sqrt{\dfrac{25}{4}} = \dfrac{5}{2} = 2\dfrac{1}{2}\).
Записывают \(\sqrt{-4} \cdot \sqrt{-9} = \sqrt{(-4)(-9)} = \sqrt{36} = 6\). Левая часть не имеет смысла: корня из отрицательного числа нет. Правило верно только при \(a \ge 0\) и \(b \ge 0\).
Перед применением правила проверяйте знаки. Произведение двух отрицательных чисел \(\sqrt{(-4)(-9)}\) вычислить можно, но только как \(\sqrt{36} = 6\) или как \(\sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{9}\) — с положительными множителями.
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Чему равно \(\sqrt{16 \cdot 0{,}09}\)?
Показать ответ
Ответ: А) 1,2
\(\sqrt{16 \cdot 0{,}09} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{0{,}09} = 4 \cdot 0{,}3 = 1{,}2\).
-
Какие равенства верны?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) \(\sqrt{9 \cdot 25} = 15\); В) \(\dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = 5\)
\(\sqrt{9 \cdot 25} = 3 \cdot 5 = 15\) и \(\dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{25} = 5\). Корень из суммы не равен сумме корней, \(\sqrt{25} = 5 \ne 7\), а \(\sqrt{2\dfrac{1}{4}} = \sqrt{\dfrac{9}{4}} = \dfrac{3}{2}\).
-
Найдите значение произведения \(\sqrt{12} \cdot \sqrt{3}\).
Показать ответ
Ответ: 6
\(\sqrt{12} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{36} = 6\).
-
При каких значениях \(a\) и \(b\) верно равенство \(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)?
Показать ответ
Ответ: А) При \(a \ge 0\) и \(b > 0\)
Под знаком корня не должно быть отрицательных чисел, а на ноль делить нельзя, поэтому \(a \ge 0\), \(b > 0\).
-
Найдите значение корня \(\sqrt{1\dfrac{9}{16}}\). Ответ запишите десятичной дробью.
Показать ответ
Ответ: 1,25
\(1\dfrac{9}{16} = \dfrac{25}{16}\), и \(\sqrt{\dfrac{25}{16}} = \dfrac{5}{4} = 1{,}25\).
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Найдите значение выражения \(\sqrt{25 \cdot 0{,}36}\).
Подсказка
Извлеките корень из каждого множителя отдельно.
Решение
\(\sqrt{25 \cdot 0{,}36} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{0{,}36} = 5 \cdot 0{,}6 = 3\).
Ответ
Найдите значение выражения \(\sqrt{\dfrac{49}{144}}\).
Подсказка
Корень из дроби равен корню из числителя, делённому на корень из знаменателя.
Решение
\(\sqrt{\dfrac{49}{144}} = \dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{144}} = \dfrac{7}{12}\).
Ответ
Найдите значение произведения \(\sqrt{18} \cdot \sqrt{8}\).
Подсказка
Ни 18, ни 8 не являются квадратами. Запишите произведение под одним корнем.
Решение
\(\sqrt{18} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{18 \cdot 8} = \sqrt{144} = 12\).
Ответ
Найдите значение корня \(\sqrt{2\dfrac{14}{25}}\).
Подсказка
Сначала переведите смешанное число в неправильную дробь.
Решение
\(2\dfrac{14}{25} = \dfrac{64}{25}\), поэтому \(\sqrt{\dfrac{64}{25}} = \dfrac{\sqrt{64}}{\sqrt{25}} = \dfrac{8}{5} = 1{,}6\).
Ответ
Вычислите \(\sqrt{61^2 - 11^2}\).
Подсказка
Разложите разность квадратов на множители.
Решение
\(61^2 - 11^2 = (61 - 11)(61 + 11) = 50 \cdot 72 = 3600\), поэтому \(\sqrt{61^2 - 11^2} = \sqrt{3600} = 60\). Можно и так — \(50 \cdot 72 = 100 \cdot 36\), а \(\sqrt{100 \cdot 36} = 10 \cdot 6 = 60\).
Ответ
Упростите выражение \(\sqrt{2a} \cdot \sqrt{8a}\), где \(a \ge 0\).
Подсказка
Запишите произведение под одним корнем и заметьте квадрат.
Решение
При \(a \ge 0\) оба корня имеют смысл, поэтому \(\sqrt{2a} \cdot \sqrt{8a} = \sqrt{16a^2} = \sqrt{(4a)^2} = 4a\), ведь \(4a \ge 0\).
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Нарисуйте на листе в клетку квадрат \(6 \times 6\) клеток и разбейте его на 4 одинаковых квадрата \(3 \times 3\). Площадь большого квадрата \(4 \cdot 9 = 36\) клеток, сторона \(\sqrt{36} = 6\). А можно посчитать иначе: по стороне лежат \(\sqrt{4} = 2\) малых квадрата со стороной \(\sqrt{9} = 3\), всего \(2 \cdot 3 = 6\). Корень из произведения — произведение корней. Потом покажите, что для суммы так нельзя: \(\sqrt{9 + 16} = 5\), а не 7.
Вопросы для проверки понимания: 1) Чему равно \(\sqrt{4 \cdot 0{,}25}\) и почему? 2) Как вычислить \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}\), если ни 2, ни 8 не квадраты? 3) Почему \(\sqrt{1\dfrac{9}{16}}\) не равно \(1\dfrac{3}{4}\)?
На что обратить внимание. Главная ловушка — перенос правила на сумму и разность и на смешанные числа. Хороший признак понимания — когда ребёнок сам замечает, что \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{18}\) удобнее собрать под один корень, а большое число под корнем раскладывает на множители-квадраты.