Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 15

Упражнение 374 к § 15

§ 15. Квадратный корень из произведения и дроби · тема: Квадратный корень из произведения и дроби

Задача 1

Условие (кратко)

Указать натуральные значения n, при которых √(n² − 75) является натуральным числом.

Решение

Пусть $\sqrt{n^2 - 75} = m$ , где $$m$$ — натуральное число. Тогда $$n^2 - 75 = m^2$$ , то есть $$n^2 - m^2 = 75$$ , или $$(n - m)(n + m) = 75$$ .

Множители $$n - m$$ и $$n + m$$ — натуральные, причём $$n - m < n + m$$ . Разложения числа 75 на два таких множителя: $1 \cdot 75$ , $3 \cdot 25$ , $5 \cdot 15$ .

$$n - m = 1$$ , $$n + m = 75$$ , откуда $$n = 38$$ , $$m = 37$$ .
$$n - m = 3$$ , $$n + m = 25$$ , откуда $$n = 14$$ , $$m = 11$$ .
$$n - m = 5$$ , $$n + m = 15$$ , откуда $$n = 10$$ , $$m = 5$$ .

Проверка: $\sqrt{100 - 75} = 5$ , $\sqrt{196 - 75} = \sqrt{121} = 11$ , $\sqrt{1444 - 75} = \sqrt{1369} = 37$ .

Ответ

10; 14; 38

Почему так

Разность квадратов n² − m² = 75 раскладывают на множители и перебирают разложения числа 75.

Подробнее — в теме «Квадратный корень из произведения и дроби».

Задача 1

Похожие задачи для тренировки