§ 17. Вынесение множителя из-под знака корня. Внесение множителя под знак корня · тема: Вынесение множителя из-под знака корня. Внесение множителя под знак корня
а) Внести множитель под знак корня: 7√10.
\(7\sqrt{10} = \sqrt{7^2}\cdot\sqrt{10} = \sqrt{49 \cdot 10} = \sqrt{490}\).
Положительный множитель вносят под знак корня, возводя его в квадрат: a√b = √(a²b) при a ≥ 0.
Подробнее — в теме «Вынесение множителя из-под знака корня. Внесение множителя под знак корня».
б) Внести множитель под знак корня: 5√3.
\(5\sqrt{3} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{75}\).
Положительный множитель вносят под знак корня, возводя его в квадрат: a√b = √(a²b) при a ≥ 0.
Подробнее — в теме «Вынесение множителя из-под знака корня. Внесение множителя под знак корня».
в) Внести множитель под знак корня: 6√x.
Выражение имеет смысл при \(x \ge 0\). \(6\sqrt{x} = \sqrt{36}\cdot\sqrt{x} = \sqrt{36x}\).
Положительный множитель вносят под знак корня, возводя его в квадрат: a√b = √(a²b) при a ≥ 0.
Подробнее — в теме «Вынесение множителя из-под знака корня. Внесение множителя под знак корня».
г) Внести множитель под знак корня: 10√y.
Выражение имеет смысл при \(y \ge 0\). \(10\sqrt{y} = \sqrt{100}\cdot\sqrt{y} = \sqrt{100y}\).
Положительный множитель вносят под знак корня, возводя его в квадрат: a√b = √(a²b) при a ≥ 0.
Подробнее — в теме «Вынесение множителя из-под знака корня. Внесение множителя под знак корня».
д) Внести множитель под знак корня: 3√(2a).
Выражение имеет смысл при \(a \ge 0\). \(3\sqrt{2a} = \sqrt{9 \cdot 2a} = \sqrt{18a}\).
Положительный множитель вносят под знак корня, возводя его в квадрат: a√b = √(a²b) при a ≥ 0.
Подробнее — в теме «Вынесение множителя из-под знака корня. Внесение множителя под знак корня».
е) Внести множитель под знак корня: 5√(3b).
Выражение имеет смысл при \(b \ge 0\). \(5\sqrt{3b} = \sqrt{25 \cdot 3b} = \sqrt{75b}\).
Положительный множитель вносят под знак корня, возводя его в квадрат: a√b = √(a²b) при a ≥ 0.
Подробнее — в теме «Вынесение множителя из-под знака корня. Внесение множителя под знак корня».
ж) Внести множитель под знак корня: a√(x²).
Подкоренное выражение \(x^2 \ge 0\) при любом \(x\), а множитель \(a\) может быть любого знака. Рассмотрим два случая.
Если \(a \ge 0\), то \(a\sqrt{x^2} = \sqrt{a^2}\cdot\sqrt{x^2} = \sqrt{a^2x^2}\).
Если \(a < 0\), то \(a = -|a|\) и \(a\sqrt{x^2} = -\sqrt{a^2}\cdot\sqrt{x^2} = -\sqrt{a^2x^2}\).
Под корень вносят только неотрицательный множитель; при a < 0 знак «минус» остаётся перед корнем.
Подробнее — в теме «Вынесение множителя из-под знака корня. Внесение множителя под знак корня».
з) Внести множитель под знак корня: m²√(m³).
Выражение \(\sqrt{m^3}\) имеет смысл только при \(m \ge 0\); множитель \(m^2 \ge 0\).
\(m^2\sqrt{m^3} = \sqrt{(m^2)^2}\cdot\sqrt{m^3} = \sqrt{m^4 \cdot m^3} = \sqrt{m^7}\).
Неотрицательный множитель m² вносят под корень, возводя в квадрат: (m²)² = m⁴.
Подробнее — в теме «Вынесение множителя из-под знака корня. Внесение множителя под знак корня».
и) Внести множитель под знак корня: 3xy²√y.
Выражение имеет смысл при \(y \ge 0\). Множитель \(3y^2 \ge 0\), а знак множителя \(x\) может быть любым.
Если \(x \ge 0\), то \(3xy^2\sqrt{y} = \sqrt{9x^2y^4}\cdot\sqrt{y} = \sqrt{9x^2y^5}\).
Если \(x < 0\), то \(3xy^2 = -3|x|y^2\) и \(3xy^2\sqrt{y} = -\sqrt{9x^2y^4 \cdot y} = -\sqrt{9x^2y^5}\).
Под корень вносят модуль множителя в квадрате; при отрицательном множителе перед корнем остаётся «минус».
Подробнее — в теме «Вынесение множителя из-под знака корня. Внесение множителя под знак корня».
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).
УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/p17/upr-403/