Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Если под корнем стоит произведение, в котором есть точный квадрат, его можно вынести за знак корня. Обратное действие — внесение множителя под корень: положительный множитель возводят в квадрат и записывают под корень.
Подробное объяснение
Пример из жизни
Квадратный ковёр имеет площадь 18 м². Какая у него сторона? Это \(\sqrt{18}\) м. Калькулятор покажет 4,2426…, но точный ответ можно записать проще. Число 18 — это \(9 \cdot 2\), а корень из 9 равен 3. Значит, \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\). Сразу видно: сторона ковра в три раза больше, чем \(\sqrt{2} \approx 1{,}41\) м, то есть около 4,2 м.
Вынесение множителя из-под корня
Правило опирается на свойство корня из произведения: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\) при \(a \ge 0\), \(b \ge 0\). Подкоренное число раскладывают на два множителя так, чтобы один был точным квадратом: 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100… Корень из квадрата извлекается и выходит наружу.
Берите наибольший квадрат. Если взять не самый большой, придётся выносить ещё раз: \(\sqrt{72} = 2\sqrt{18} = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\). Проще сразу заметить \(72 = 36 \cdot 2\).
Вынесение, когда под корнем буквы
Чётная степень — тоже квадрат: \(a^6 = (a^3)^2\), \(x^4 = (x^2)^2\). Но \(\sqrt{a^2} = |a|\), а не просто \(a\). Поэтому:
- \(\sqrt{9x^2} = 3|x|\); если известно, что \(x \ge 0\), пишут \(3x\), если \(x < 0\) — пишут \(-3x\);
- \(\sqrt{a^5} = \sqrt{a^4 \cdot a} = a^2\sqrt{a}\). Модуль не нужен: \(a^2 \ge 0\) всегда. К тому же выражение имеет смысл только при \(a \ge 0\).
Перед преобразованием полезно спросить себя: при каких значениях букв выражение вообще имеет смысл?
Внесение множителя под корень
Иногда нужно наоборот — спрятать множитель под корень. Положительное число \(a\) равно \(\sqrt{a^2}\), поэтому \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\). Например, \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\).
Отрицательный множитель под корень внести нельзя: арифметический корень не бывает отрицательным. Поэтому «минус» оставляют снаружи: \(-2\sqrt{7} = -\sqrt{4 \cdot 7} = -\sqrt{28}\). Если знак буквы неизвестен, рассматривают два случая: \(a\sqrt{3} = \sqrt{3a^2}\) при \(a \ge 0\) и \(a\sqrt{3} = -\sqrt{3a^2}\) при \(a < 0\).
Зачем это нужно: сравнение корней
Как понять, что больше: \(4\sqrt{3}\) или \(3\sqrt{5}\)? Внесём множители под корень: \(\sqrt{48}\) и \(\sqrt{45}\). Из двух арифметических корней больше тот, у которого больше подкоренное число. Значит, \(4\sqrt{3} > 3\sqrt{5}\). У отрицательных чисел всё наоборот: \(-4\sqrt{3} < -3\sqrt{5}\).
Вынесение множителя нужно и для упрощения: \(\sqrt{12} + \sqrt{27} = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}\) — подобные слагаемые видны только после вынесения.
Как решать
- Определите, при каких значениях букв выражение имеет смысл.
- Чтобы вынести множитель: разложите подкоренное выражение так, чтобы один множитель был наибольшим точным квадратом (числом или чётной степенью), и извлеките из него корень.
- Если из-под корня выходит буква в нечётной степени, поставьте модуль и раскройте его по знаку буквы.
- Чтобы внести множитель: оставьте его знак снаружи, а модуль возведите в квадрат и умножьте на подкоренное выражение.
- Чтобы сравнить корни: внесите все множители под корень и сравните подкоренные числа; для отрицательных чисел знак сравнения меняется.
Разобранные примеры
Вынести множитель из числа
Вынесите множитель из-под знака корня: \(\sqrt{180}\).
Ищем наибольший квадрат, на который делится 180: \(180 = 36 \cdot 5\).
Вынести множитель, когда под корнем буквы
Вынесите множитель из-под знака корня: \(\sqrt{20x^2y^7}\), если \(x < 0\).
Выражение имеет смысл при \(y \ge 0\). Выделяем квадраты: \(20x^2y^7 = 4x^2y^6 \cdot 5y\).
Множитель \(y^3 \ge 0\), потому что \(y \ge 0\). А \(x < 0\), значит, \(|x| = -x\). Получаем \(-2xy^3\sqrt{5y}\).
Расположить числа по возрастанию
Расположите в порядке возрастания: \(2\sqrt{10}\), \(-3\sqrt{2}\), \(6\), \(-\sqrt{17}\), \(5\sqrt{2}\).
Внесём всё под корень: \(2\sqrt{10} = \sqrt{40}\), \(-3\sqrt{2} = -\sqrt{18}\), \(6 = \sqrt{36}\), \(-\sqrt{17}\), \(5\sqrt{2} = \sqrt{50}\).
Положительные: \(36 < 40 < 50\), значит \(6 < 2\sqrt{10} < 5\sqrt{2}\). Отрицательные: больше по модулю то, у кого больше подкоренное число, поэтому \(-\sqrt{18} < -\sqrt{17}\).
Типичные ошибки
Пишут \(\sqrt{18} = 9\sqrt{2}\): увидели \(18 = 9 \cdot 2\) и вынесли девятку. Но наружу выходит не 9, а \(\sqrt{9} = 3\). Проверка: \(9\sqrt{2} \approx 12{,}7\), а \(\sqrt{18} \approx 4{,}2\).
\(\sqrt{18} = \sqrt{9}\cdot\sqrt{2} = 3\sqrt{2}\). Обратная проверка внесением: \(3\sqrt{2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}\) — сходится.
Пишут \(-5\sqrt{3} = \sqrt{75}\). Слева отрицательное число, справа положительное — они не могут быть равны. А запись \(\sqrt{-75}\) вообще не имеет смысла.
Знак оставляют перед корнем, вносят только 5: \(-5\sqrt{3} = -\sqrt{25 \cdot 3} = -\sqrt{75}\).
Пишут \(\sqrt{16a^2} = 4a\) без оговорок. При \(a = -2\) слева \(\sqrt{64} = 8\), а справа \(-8\). Корень не может быть отрицательным.
\(\sqrt{16a^2} = 4|a|\). Если в условии сказано, что \(a < 0\), то ответ \(-4a\); если \(a \ge 0\) — то \(4a\).
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Чему равно \(\sqrt{75}\) после вынесения множителя из-под знака корня?
Показать ответ
Ответ: А) \(5\sqrt{3}\)
\(75 = 25 \cdot 3\), поэтому \(\sqrt{75} = \sqrt{25}\cdot\sqrt{3} = 5\sqrt{3}\).
-
Какие выражения равны \(\sqrt{72}\)?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) \(6\sqrt{2}\); Б) \(3\sqrt{8}\); В) \(2\sqrt{18}\)
Внесём множители под корень — \(6\sqrt{2} = \sqrt{72}\), \(3\sqrt{8} = \sqrt{72}\), \(2\sqrt{18} = \sqrt{72}\), а \(8\sqrt{3} = \sqrt{192}\).
-
Внесите множитель под знак корня \(5\sqrt{2} = \sqrt{n}\). Чему равно \(n\)?
Показать ответ
Ответ: 50
\(5\sqrt{2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}\).
-
Как правильно внести множитель под знак корня в выражении \(-3\sqrt{2}\)?
Показать ответ
Ответ: Б) \(-\sqrt{18}\)
Под корень вносят только положительное число 3, а «минус» остаётся перед корнем — \(-3\sqrt{2} = -\sqrt{9 \cdot 2} = -\sqrt{18}\).
-
Чему равно \(\sqrt{a^2 b}\) при \(a < 0\) и \(b \ge 0\)?
Показать ответ
Ответ: Б) \(-a\sqrt{b}\)
\(\sqrt{a^2 b} = |a|\sqrt{b}\), а при \(a < 0\) модуль \(|a| = -a\).
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Вынесите множитель из-под знака корня в выражении \(\sqrt{72}\).
Подсказка
Найдите наибольший точный квадрат, на который делится 72.
Решение
\(72 = 36 \cdot 2\), поэтому \(\sqrt{72} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}\).
Ответ
Внесите множитель под знак корня в выражении \(4\sqrt{3}\).
Подсказка
Множитель 4 запишите как \(\sqrt{16}\).
Решение
\(4\sqrt{3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{48}\).
Ответ
Вынесите множитель из-под знака корня в выражении \(\sqrt{27a^3}\).
Подсказка
Сначала найдите, при каких \(a\) выражение имеет смысл, затем запишите \(27a^3 = 9a^2 \cdot 3a\).
Решение
Выражение имеет смысл при \(a \ge 0\) (при \(a < 0\) число \(27a^3\) отрицательно).
\(\sqrt{27a^3} = \sqrt{9a^2 \cdot 3a} = \sqrt{9a^2} \cdot \sqrt{3a} = 3|a|\sqrt{3a} = 3a\sqrt{3a}\), так как \(a \ge 0\).
Ответ
Сравните числа \(3\sqrt{7}\) и \(2\sqrt{15}\).
Подсказка
Внесите оба множителя под знак корня.
Решение
\(3\sqrt{7} = \sqrt{9 \cdot 7} = \sqrt{63}\), \(2\sqrt{15} = \sqrt{4 \cdot 15} = \sqrt{60}\). Так как \(63 > 60\), то \(\sqrt{63} > \sqrt{60}\), то есть \(3\sqrt{7} > 2\sqrt{15}\).
Ответ
Внесите множитель под знак корня в выражении \(x\sqrt{5}\), если \(x < 0\).
Подсказка
Отрицательное число нельзя записать арифметическим корнем. Вынесите «минус» вперёд.
Решение
При \(x < 0\) имеем \(x = -|x|\), а \(|x| = \sqrt{x^2}\).
\(x\sqrt{5} = -|x|\sqrt{5} = -\sqrt{x^2} \cdot \sqrt{5} = -\sqrt{5x^2}\).
Ответ
Вынесите множитель из-под знака корня в выражении \(\sqrt{98b^2}\), если \(b < 0\).
Подсказка
\(\sqrt{b^2} = |b|\), а при \(b < 0\) модуль равен \(-b\).
Решение
\(\sqrt{98b^2} = \sqrt{49 \cdot 2 \cdot b^2} = 7|b|\sqrt{2} = -7b\sqrt{2}\), так как \(|b| = -b\) при \(b < 0\).
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Нарисуйте на клетчатой бумаге квадрат 3 × 3 клетки и попросите ребёнка назвать \(\sqrt{9}\). Затем спросите про \(\sqrt{18}\): это сторона квадрата из двух таких квадратов. Покажите, что \(18 = 9 \cdot 2\), тройка «выходит наружу», а двойка остаётся под корнем: \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\). Проверьте на калькуляторе: \(3 \cdot 1{,}414 \approx 4{,}24\) и \(\sqrt{18} \approx 4{,}24\). Удобно выписать на листок квадраты чисел от 1 до 15 — по нему быстро ищется нужный множитель.
Вопросы для проверки понимания:
- Вынеси множитель из-под корня: \(\sqrt{200}\). (Ответ: \(10\sqrt{2}\).)
- Что больше: \(2\sqrt{7}\) или \(3\sqrt{3}\)? (Ответ: \(2\sqrt{7} = \sqrt{28} > \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\).)
- Можно ли записать \(-4\sqrt{2}\) как \(\sqrt{32}\)? (Ответ: нет, только \(-\sqrt{32}\).)
На что обратить внимание. Главные потери баллов — вынесенный «не до конца» множитель (\(\sqrt{48} = 2\sqrt{12}\) вместо \(4\sqrt{3}\)), «минус», занесённый под корень, и пропущенный модуль у букв. Хорошая привычка — проверять ответ обратным действием или на калькуляторе.