Задача 1
Задача-исследование. Проверить равенства √(2 2/3) = 2√(2/3), √(3 2/3) = 3√(3/8), √(4 4/15) = 4√(4/15) и найти, при каком соотношении натуральных a и b верно √(a + a/b) = a√(a/b).
Решение
Проверим равенства, внося целую часть под знак корня.
\(2\sqrt{\dfrac{2}{3}} = \sqrt{4 \cdot \dfrac{2}{3}} = \sqrt{\dfrac{8}{3}} = \sqrt{2\dfrac{2}{3}}\) — верно.
\(3\sqrt{\dfrac{3}{8}} = \sqrt{9 \cdot \dfrac{3}{8}} = \sqrt{\dfrac{27}{8}} = \sqrt{3\dfrac{3}{8}}\). В учебнике слева напечатано \(\sqrt{3\dfrac{2}{3}}\), но \(3\dfrac{2}{3} \ne 3\dfrac{3}{8}\), так что в таком виде равенство неверно; по смыслу задания (и по закономерности остальных двух равенств) это опечатка, верное равенство — \(\sqrt{3\dfrac{3}{8}} = 3\sqrt{\dfrac{3}{8}}\).
\(4\sqrt{\dfrac{4}{15}} = \sqrt{16 \cdot \dfrac{4}{15}} = \sqrt{\dfrac{64}{15}} = \sqrt{4\dfrac{4}{15}}\) — верно.
-
Обе части равенства \(\sqrt{a + \dfrac{a}{b}} = a\sqrt{\dfrac{a}{b}}\) неотрицательны, поэтому оно равносильно равенству квадратов: \(a + \dfrac{a}{b} = \dfrac{a^2 \cdot a}{b}\).
-
Умножим на \(b\): \(ab + a = a^3\). Разделим на \(a \ne 0\): \(b + 1 = a^2\), то есть \(b = a^2 - 1\).
-
Примеры: \(a = 2,\ b = 3\); \(a = 3,\ b = 8\); \(a = 4,\ b = 15\) (это и есть три равенства из условия); \(a = 5,\ b = 24\): \(\sqrt{5\dfrac{5}{24}} = \sqrt{\dfrac{125}{24}}\) и \(5\sqrt{\dfrac{5}{24}} = \sqrt{\dfrac{125}{24}}\) — верно. При \(a = 1\) получаем \(b = 0\), что не подходит: \(b\) — натуральное число, поэтому \(a \ge 2\).
Ответ
Множитель вносят под знак корня, а равенство неотрицательных выражений с корнями проверяют возведением в квадрат.
Подробнее — в теме «Вынесение множителя из-под знака корня. Внесение множителя под знак корня».