Упражнение 411 к § 17

\(p = \dfrac{12 + 16 + 24}{2} = 26\) см; \(p - a = 14\), \(p - b = 10\), \(p - c = 2\).

\(S = \sqrt{26 \cdot 14 \cdot 10 \cdot 2} = \sqrt{7280} = \sqrt{16 \cdot 455} = 4\sqrt{455} \approx 85{,}3\) см².

\(p = \dfrac{18 + 22 + 26}{2} = 33\) см; \(p - a = 15\), \(p - b = 11\), \(p - c = 7\).

\(S = \sqrt{33 \cdot 15 \cdot 11 \cdot 7} = \sqrt{3 \cdot 11 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 7} = \sqrt{33^2 \cdot 35} = 33\sqrt{35} \approx 195{,}2\) см².

Пусть стороны стали \(2a\), \(2b\), \(2c\). Тогда полупериметр равен \(2p\), а каждая разность удваивается: \(2p - 2a = 2(p - a)\) и т. д.

\(S_1 = \sqrt{2p \cdot 2(p - a) \cdot 2(p - b) \cdot 2(p - c)} = \sqrt{16\,p(p - a)(p - b)(p - c)} = 4\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} = 4S\).

Проверка на треугольнике а): стороны 24, 32, 48 см, \(p = 52\), \(S_1 = \sqrt{52 \cdot 28 \cdot 20 \cdot 4} = \sqrt{116\,480} = 16\sqrt{455} = 4 \cdot 4\sqrt{455}\).