§ 18. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни · тема: Преобразование выражений, содержащих квадратные корни
а) Выполнить действия по формулам сокращённого умножения: (x + √y)(x − √y).
При \(y \ge 0\) имеем \((x + \sqrt{y})(x - \sqrt{y}) = x^2 - (\sqrt{y})^2 = x^2 - y\).
Произведение суммы и разности двух выражений равно разности их квадратов, а (√a)² = a.
Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».
б) Выполнить действия по формулам сокращённого умножения: (√a − √b)(√a + √b).
При \(a \ge 0\), \(b \ge 0\) имеем \((\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = a - b\).
Произведение суммы и разности двух выражений равно разности их квадратов, а (√a)² = a.
Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».
в) Выполнить действия по формулам сокращённого умножения: (√11 − 3)(√11 + 3).
\((\sqrt{11} - 3)(\sqrt{11} + 3) = (\sqrt{11})^2 - 3^2 = 11 - 9 = 2\).
Произведение суммы и разности двух выражений равно разности их квадратов, а (√a)² = a.
Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».
г) Выполнить действия по формулам сокращённого умножения: (√10 + √7)(√7 − √10).
\((\sqrt{10} + \sqrt{7})(\sqrt{7} - \sqrt{10}) = (\sqrt{7} + \sqrt{10})(\sqrt{7} - \sqrt{10}) = 7 - 10 = -3\).
Произведение суммы и разности двух выражений равно разности их квадратов, а (√a)² = a.
Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».
д) Выполнить действия по формулам сокращённого умножения: (√a + √b)².
При \(a \ge 0\), \(b \ge 0\) имеем \((\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 + 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b\).
Квадрат суммы (разности): квадрат первого, плюс (минус) удвоенное произведение, плюс квадрат второго.
Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».
е) Выполнить действия по формулам сокращённого умножения: (√m − √n)².
При \(m \ge 0\), \(n \ge 0\) имеем \((\sqrt{m} - \sqrt{n})^2 = m - 2\sqrt{mn} + n\).
Квадрат суммы (разности): квадрат первого, плюс (минус) удвоенное произведение, плюс квадрат второго.
Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».
ж) Выполнить действия по формулам сокращённого умножения: (√2 + 3)².
\((\sqrt{2} + 3)^2 = 2 + 2 \cdot 3\sqrt{2} + 9 = 11 + 6\sqrt{2}\).
Квадрат суммы (разности): квадрат первого, плюс (минус) удвоенное произведение, плюс квадрат второго.
Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».
з) Выполнить действия по формулам сокращённого умножения: (√5 − √2)².
\((\sqrt{5} - \sqrt{2})^2 = 5 - 2\sqrt{5}\sqrt{2} + 2 = 7 - 2\sqrt{10}\).
Квадрат суммы (разности): квадрат первого, плюс (минус) удвоенное произведение, плюс квадрат второго.
Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).
УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/p18/upr-416/