§ 18. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни · тема: Преобразование выражений, содержащих квадратные корни
а) Выполнить действия: (2√5 + 1)(2√5 − 1).
\((2\sqrt{5} + 1)(2\sqrt{5} - 1) = (2\sqrt{5})^2 - 1^2 = 4 \cdot 5 - 1 = 19\).
Произведение суммы и разности двух выражений равно разности их квадратов, а (√a)² = a.
Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».
б) Выполнить действия: (5√7 − √13)(√13 + 5√7).
\((5\sqrt{7} - \sqrt{13})(5\sqrt{7} + \sqrt{13}) = (5\sqrt{7})^2 - (\sqrt{13})^2 = 25 \cdot 7 - 13 = 175 - 13 = 162\).
Произведение суммы и разности двух выражений равно разности их квадратов, а (√a)² = a.
Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».
в) Выполнить действия: (3√2 − 2√3)(2√3 + 3√2).
\((3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}) = (3\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{3})^2 = 18 - 12 = 6\).
Произведение суммы и разности двух выражений равно разности их квадратов, а (√a)² = a.
Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».
г) Выполнить действия: (1 + 3√5)².
\((1 + 3\sqrt{5})^2 = 1 + 2 \cdot 3\sqrt{5} + 9 \cdot 5 = 1 + 6\sqrt{5} + 45 = 46 + 6\sqrt{5}\).
Квадрат суммы (разности): квадрат первого, плюс (минус) удвоенное произведение, плюс квадрат второго.
Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».
д) Выполнить действия: (2√3 − 7)².
\((2\sqrt{3} - 7)^2 = 4 \cdot 3 - 2 \cdot 7 \cdot 2\sqrt{3} + 49 = 12 - 28\sqrt{3} + 49 = 61 - 28\sqrt{3}\).
Квадрат суммы (разности): квадрат первого, плюс (минус) удвоенное произведение, плюс квадрат второго.
Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».
е) Выполнить действия: (2√10 − √2)².
\((2\sqrt{10} - \sqrt{2})^2 = 4 \cdot 10 - 2 \cdot 2\sqrt{10} \cdot \sqrt{2} + 2 = 42 - 4\sqrt{20} = 42 - 4 \cdot 2\sqrt{5} = 42 - 8\sqrt{5}\).
Квадрат суммы (разности): квадрат первого, плюс (минус) удвоенное произведение, плюс квадрат второго.
Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).
УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/p18/upr-417/