Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 18

Упражнение 418 к § 18

Задача 1

Условие (кратко)

а) Выполнить действия: (√(4 + √7) + √(4 − √7))².

Решение

Квадрат суммы:

$\left(\sqrt{4 + \sqrt{7}} + \sqrt{4 - \sqrt{7}}\right)^2 = (4 + \sqrt{7}) + 2\sqrt{(4 + \sqrt{7})(4 - \sqrt{7})} + (4 - \sqrt{7})$ .

Под корнем разность квадратов: $(4 + \sqrt{7})(4 - \sqrt{7}) = 16 - 7 = 9$ , $\sqrt{9} = 3$ .

Итого $8 + 2 \cdot 3 = 14$ .

Ответ

Почему так

Квадрат суммы и произведение корней √x · √y = √(xy); под корнем — разность квадратов.

Условие (кратко)

б) Выполнить действия: (√(5 + 2√6) − √(5 − 2√6))².

Решение

Квадрат разности:

$\left(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} - \sqrt{5 - 2\sqrt{6}}\right)^2 = (5 + 2\sqrt{6}) - 2\sqrt{(5 + 2\sqrt{6})(5 - 2\sqrt{6})} + (5 - 2\sqrt{6})$ .

$(5 + 2\sqrt{6})(5 - 2\sqrt{6}) = 25 - 24 = 1$ , поэтому получаем $10 - 2 \cdot 1 = 8$ .

Ответ

Почему так

Квадрат разности и произведение корней √x · √y = √(xy); под корнем — разность квадратов.