§ 18. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни · тема: Преобразование выражений, содержащих квадратные корни
а) Преобразовать выражение (√x + 1)(√x − 1).
При \(x \ge 0\) имеем \((\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1) = (\sqrt{x})^2 - 1 = x - 1\).
Произведение суммы и разности двух выражений равно разности их квадратов, а (√a)² = a.
Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».
б) Преобразовать выражение (√x − √a)(√x + √a).
При \(x \ge 0\), \(a \ge 0\) имеем \((\sqrt{x} - \sqrt{a})(\sqrt{x} + \sqrt{a}) = x - a\).
Произведение суммы и разности двух выражений равно разности их квадратов, а (√a)² = a.
Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».
в) Преобразовать выражение (√m + √2)².
При \(m \ge 0\) имеем \((\sqrt{m} + \sqrt{2})^2 = m + 2\sqrt{2m} + 2\).
Квадрат суммы (разности): квадрат первого, плюс (минус) удвоенное произведение, плюс квадрат второго.
Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».
г) Преобразовать выражение (√3 − √x)².
При \(x \ge 0\) имеем \((\sqrt{3} - \sqrt{x})^2 = 3 - 2\sqrt{3x} + x\).
Квадрат суммы (разности): квадрат первого, плюс (минус) удвоенное произведение, плюс квадрат второго.
Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».
д) Преобразовать выражение (5√7 − 13)(5√7 + 13).
\((5\sqrt{7} - 13)(5\sqrt{7} + 13) = 25 \cdot 7 - 169 = 175 - 169 = 6\).
Произведение суммы и разности двух выражений равно разности их квадратов, а (√a)² = a.
Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».
е) Преобразовать выражение (2√2 + 3√3)(2√2 − 3√3).
\((2\sqrt{2} + 3\sqrt{3})(2\sqrt{2} - 3\sqrt{3}) = 4 \cdot 2 - 9 \cdot 3 = 8 - 27 = -19\).
Произведение суммы и разности двух выражений равно разности их квадратов, а (√a)² = a.
Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».
ж) Преобразовать выражение (6 − √2)² + 3√32.
\((6 - \sqrt{2})^2 = 36 - 12\sqrt{2} + 2 = 38 - 12\sqrt{2}\), \(3\sqrt{32} = 3 \cdot 4\sqrt{2} = 12\sqrt{2}\).
\(38 - 12\sqrt{2} + 12\sqrt{2} = 38\).
Квадрат разности, затем вынесение множителя из-под корня и приведение подобных.
Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».
з) Преобразовать выражение (√2 + √18)² − 30.
Способ 1: \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\), значит, \(\sqrt{2} + \sqrt{18} = 4\sqrt{2}\) и \((4\sqrt{2})^2 - 30 = 32 - 30 = 2\).
Проверка по формуле: \((\sqrt{2} + \sqrt{18})^2 = 2 + 2\sqrt{36} + 18 = 20 + 12 = 32\).
Подобные радикалы √2 и √18 = 3√2 удобно сложить до возведения в квадрат.
Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).
УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/p18/upr-419/