Алгебра 8 класс Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова, § 18, упражнение 423

Задача 1

Условие (кратко)

а) Сократить дробь (x² − 2)/(x + √2).

Решение

$\dfrac{x^2 - 2}{x + \sqrt{2}} = \dfrac{(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})}{x + \sqrt{2}} = x - \sqrt{2}$ (при $x \ne -\sqrt{2}$ ).

Ответ

x − √2

Почему так

Раскладываем числитель или знаменатель на множители (разность квадратов, вынесение корня) и сокращаем общий множитель.

Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Сократить дробь (√5 − a)/(5 − a²).

Решение

$\dfrac{\sqrt{5} - a}{5 - a^2} = \dfrac{\sqrt{5} - a}{(\sqrt{5} - a)(\sqrt{5} + a)} = \dfrac{1}{\sqrt{5} + a}$ (при $a \ne \pm\sqrt{5}$ ).

Ответ

1/(√5 + a)

Почему так

Раскладываем числитель или знаменатель на множители (разность квадратов, вынесение корня) и сокращаем общий множитель.

Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Сократить дробь (√x − 5)/(25 − x).

Решение

При $x \ge 0$ , $x \ne 25$ имеем $25 - x = (5 - \sqrt{x})(5 + \sqrt{x})$ , $\sqrt{x} - 5 = -(5 - \sqrt{x})$ , поэтому $\dfrac{\sqrt{x} - 5}{25 - x} = -\dfrac{1}{5 + \sqrt{x}}$ .

Ответ

−1/(√x + 5)

Почему так

Знаменатель — разность квадратов; у числителя выносим минус и сокращаем.

Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Сократить дробь (√2 + 2)/√2.

Решение

$2 = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}$ , поэтому $\dfrac{\sqrt{2} + 2}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}(1 + \sqrt{2})}{\sqrt{2}} = 1 + \sqrt{2}$ .

Ответ

1 + √2

Почему так

Раскладываем числитель или знаменатель на множители (разность квадратов, вынесение корня) и сокращаем общий множитель.

Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».

Задача 5

Условие (кратко)

д) Сократить дробь (5 + √10)/√10.

Решение

$5 = \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}$ , $\sqrt{10} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{2}$ , поэтому

$\dfrac{5 + \sqrt{10}}{\sqrt{10}} = \dfrac{\sqrt{5}(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

Если освободиться от корня в знаменателе, получится $\dfrac{\sqrt{10} + 2}{2}$ — это то же число.

Ответ

(√5 + √2)/√2

Почему так

Числитель и знаменатель имеют общий множитель √5 — его и сокращаем.

Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».

Задача 6

Условие (кратко)

е) Сократить дробь (2√3 − 3)/(5√3).

Решение

$3 = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}$ , поэтому $\dfrac{2\sqrt{3} - 3}{5\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}(2 - \sqrt{3})}{5\sqrt{3}} = \dfrac{2 - \sqrt{3}}{5}$ .

Ответ

(2 − √3)/5

Почему так

Раскладываем числитель или знаменатель на множители (разность квадратов, вынесение корня) и сокращаем общий множитель.

Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».

Упражнение 423 к § 18

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Задача 6

Похожие задачи для тренировки