Алгебра 8 класс Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова, § 18, упражнение 426

Задача 1

Условие (кратко)

а) Освободиться от иррациональности в знаменателе: 4/(√3 + 1).

Решение

$\dfrac{4}{\sqrt{3} + 1} = \dfrac{4(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \dfrac{4(\sqrt{3} - 1)}{3 - 1} = 2(\sqrt{3} - 1) = 2\sqrt{3} - 2$ .

Ответ

2√3 − 2

Почему так

Умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение, чтобы в знаменателе получилась разность квадратов.

Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Освободиться от иррациональности в знаменателе: 1/(1 − √2).

Решение

$\dfrac{1}{1 - \sqrt{2}} = \dfrac{1 + \sqrt{2}}{(1 - \sqrt{2})(1 + \sqrt{2})} = \dfrac{1 + \sqrt{2}}{1 - 2} = -1 - \sqrt{2}$ .

Ответ

−1 − √2

Почему так

Умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение, чтобы в знаменателе получилась разность квадратов.

Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Освободиться от иррациональности в знаменателе: 1/(√x − √y).

Решение

При $x \ge 0$ , $y \ge 0$ , $x \ne y$ имеем $\dfrac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} = \dfrac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})} = \dfrac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{x - y}$ .

Ответ

(√x + √y)/(x − y)

Почему так

Умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение, чтобы в знаменателе получилась разность квадратов.

Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Освободиться от иррациональности в знаменателе: a/(√a + √b).

Решение

При $a \ge 0$ , $b \ge 0$ , $a \ne b$ имеем $\dfrac{a}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \dfrac{a(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b})} = \dfrac{a(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{a - b}$ .

Ответ

a(√a − √b)/(a − b)

Почему так

Умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение, чтобы в знаменателе получилась разность квадратов.

Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».

Задача 5

Условие (кратко)

д) Освободиться от иррациональности в знаменателе: 33/(7 − 3√3).

Решение

Умножим на $7 + 3\sqrt{3}$ : в знаменателе $7^2 - (3\sqrt{3})^2 = 49 - 27 = 22$ .

$\dfrac{33}{7 - 3\sqrt{3}} = \dfrac{33(7 + 3\sqrt{3})}{22} = \dfrac{3(7 + 3\sqrt{3})}{2} = \dfrac{21 + 9\sqrt{3}}{2}$ .

Ответ

(21 + 9√3)/2

Почему так

Умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение, чтобы в знаменателе получилась разность квадратов.

Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».

Задача 6

Условие (кратко)

е) Освободиться от иррациональности в знаменателе: 15/(2√5 + 5).

Решение

Умножим на $2\sqrt{5} - 5$ : в знаменателе $(2\sqrt{5})^2 - 5^2 = 20 - 25 = -5$ .

$\dfrac{15}{2\sqrt{5} + 5} = \dfrac{15(2\sqrt{5} - 5)}{-5} = -3(2\sqrt{5} - 5) = 15 - 6\sqrt{5}$ .

Ответ

15 − 6√5

Почему так

Умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение, чтобы в знаменателе получилась разность квадратов.

Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».

Упражнение 426 к § 18

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Задача 6

Похожие задачи для тренировки