Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 18

Упражнение 427 к § 18

Задача 1

Условие (кратко)

а) Доказать, что значение выражения 1/(3√3 − 4) − 1/(3√3 + 4) — рациональное число.

Решение

Приведём к общему знаменателю $(3\sqrt{3} - 4)(3\sqrt{3} + 4) = 27 - 16 = 11$ :

$\dfrac{1}{3\sqrt{3} - 4} - \dfrac{1}{3\sqrt{3} + 4} = \dfrac{(3\sqrt{3} + 4) - (3\sqrt{3} - 4)}{11} = \dfrac{8}{11}$ .

Число $\dfrac{8}{11}$ рациональное, что и требовалось доказать.

Ответ

8/11 — число рациональное

Почему так

Общий знаменатель — произведение сопряжённых выражений, оно рационально; корни в числителе взаимно уничтожаются.

Условие (кратко)

б) Доказать, что значение выражения 1/(5 − 2√6) − 1/(5 + 2√6) — иррациональное число.

Решение

Общий знаменатель $(5 - 2\sqrt{6})(5 + 2\sqrt{6}) = 25 - 24 = 1$ :

$\dfrac{1}{5 - 2\sqrt{6}} - \dfrac{1}{5 + 2\sqrt{6}} = (5 + 2\sqrt{6}) - (5 - 2\sqrt{6}) = 4\sqrt{6}$ .

$\sqrt{6}$ — иррациональное число (6 не является квадратом натурального числа), значит, и $4\sqrt{6}$ иррационально.

Ответ

4√6 — число иррациональное

Почему так

Общий знаменатель — произведение сопряжённых выражений; в ответе остаётся 4√6, а √6 иррационален.