Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 18

Упражнение 428 к § 18

§ 18. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни · тема: Преобразование выражений, содержащих квадратные корни

Задача 1

Условие (кратко)

а) Между какими последовательными целыми числами заключено значение 1/(√5 − 2)?

Решение

$\dfrac{1}{\sqrt{5} - 2} = \dfrac{\sqrt{5} + 2}{5 - 4} = \sqrt{5} + 2$ .

Так как $2 < \sqrt{5} < 3$ ( $$4 < 5 < 9$$ ), то $4 < \sqrt{5} + 2 < 5$ .

Ответ

Между 4 и 5

Почему так

Умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение, чтобы в знаменателе получилась разность квадратов. Затем оцениваем корень между соседними целыми числами.

Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Между какими последовательными целыми числами заключено значение 2/(√5 − √3)?

Решение

$\dfrac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \dfrac{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{5 - 3} = \sqrt{5} + \sqrt{3}$ .

Оценка $2 < \sqrt{5} < 3$ и $1 < \sqrt{3} < 2$ даёт лишь $3 < \sqrt{5} + \sqrt{3} < 5$ — грубо. Возведём в квадрат: $(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 = 8 + 2\sqrt{15}$ . Так как $3 < \sqrt{15} < 4$ , то $14 < 8 + 2\sqrt{15} < 16$ , значит, $9 < (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 < 16$ и $3 < \sqrt{5} + \sqrt{3} < 4$ .

Ответ

Между 3 и 4

Почему так

Освобождаемся от иррациональности, затем сравниваем квадрат результата с квадратами целых чисел.

Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Между какими последовательными целыми числами заключено значение 3/(√10 + √7)?

Решение

$\dfrac{3}{\sqrt{10} + \sqrt{7}} = \dfrac{3(\sqrt{10} - \sqrt{7})}{10 - 7} = \sqrt{10} - \sqrt{7}$ .

Это число положительно, так как $\sqrt{10} > \sqrt{7}$ . Кроме того, исходная дробь $\dfrac{3}{\sqrt{10} + \sqrt{7}} < 1$ , потому что $\sqrt{10} + \sqrt{7} > 3 + 2 = 5 > 3$ . Значит, $0 < \sqrt{10} - \sqrt{7} < 1$ .

Ответ

Между 0 и 1

Почему так

Освобождаемся от иррациональности и оцениваем положительную дробь сверху.

Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Между какими последовательными целыми числами заключено значение (5 + 3√3)/(√3 + 2)?

Решение

Умножим числитель и знаменатель на $2 - \sqrt{3}$ ; в знаменателе $$4 - 3 = 1$$ . Числитель равен

$(5 + 3\sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 10 - 5\sqrt{3} + 6\sqrt{3} - 9 = 1 + \sqrt{3}$ .

Так как $1 < \sqrt{3} < 2$ , то $2 < 1 + \sqrt{3} < 3$ .

Ответ

Между 2 и 3

Почему так

Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Похожие задачи для тренировки