Задача 1
Условие (кратко)
Доказать, что 2 − √3 и 2 + √3 взаимно обратны, а 2√6 − 5 и 1/(2√6 + 5) противоположны.
Решение
Взаимно обратные числа — это числа, произведение которых равно 1: \((2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 4 - 3 = 1\).
Противоположные числа в сумме дают 0. Освободимся от иррациональности: \(\dfrac{1}{2\sqrt{6} + 5} = \dfrac{2\sqrt{6} - 5}{24 - 25} = -(2\sqrt{6} - 5)\).
Значит, \((2\sqrt{6} - 5) + \dfrac{1}{2\sqrt{6} + 5} = 0\) — числа противоположны.
Ответ
Произведение первой пары равно 1, сумма второй пары равна 0 — утверждение доказано
Почему так
Произведение сопряжённых выражений рационально; оно и даёт 1 или −1.
Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».