Задача 1
Условие (кратко)
Среди чисел 15√3 − 4√2, 6 − √12, √80 − 5√3, √75 − 4√5, 1/(2√3 − 6), 1/(√675 − √32) найти пару взаимно обратных и пару противоположных чисел.
Решение
Упростим числа:
- \(\sqrt{80} - 5\sqrt{3} = 4\sqrt{5} - 5\sqrt{3}\), \(\sqrt{75} - 4\sqrt{5} = 5\sqrt{3} - 4\sqrt{5}\) — эти числа отличаются только знаком, их сумма равна 0. Это противоположные числа.
- \(\sqrt{675} - \sqrt{32} = \sqrt{225 \cdot 3} - \sqrt{16 \cdot 2} = 15\sqrt{3} - 4\sqrt{2}\), поэтому \(\dfrac{1}{\sqrt{675} - \sqrt{32}} = \dfrac{1}{15\sqrt{3} - 4\sqrt{2}}\) — число, обратное к \(15\sqrt{3} - 4\sqrt{2}\). Их произведение равно 1.
- Оставшиеся \(6 - \sqrt{12} = 6 - 2\sqrt{3}\) и \(\dfrac{1}{2\sqrt{3} - 6} = -\dfrac{1}{6 - 2\sqrt{3}}\): их произведение равно \(-1\), они не взаимно обратные и не противоположные.
Ответ
Взаимно обратные: 15√3 − 4√2 и 1/(√675 − √32); противоположные: √80 − 5√3 и √75 − 4√5
Почему так
Выносим множители из-под корней и сравниваем: произведение взаимно обратных равно 1, сумма противоположных — 0.
Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».