Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 19

Упражнение 438 к § 19

Задача 1

Условие (кратко)

а) Найти значение выражения √(11 + 6√2) − √2.

Решение

$6\sqrt{2} = 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2}$ , и $3^2 + (\sqrt{2})^2 = 9 + 2 = 11$ , поэтому

11 + 6\sqrt{2} = (3 + \sqrt{2})^2, \qquad \sqrt{11 + 6\sqrt{2}} = 3 + \sqrt{2}.

\sqrt{11 + 6\sqrt{2}} - \sqrt{2} = 3 + \sqrt{2} - \sqrt{2} = 3.

Ответ

Почему так

Двойной радикал раскрывается как √x + √y, после чего √2 взаимно уничтожается.

Условие (кратко)

б) Найти значение выражения √(27 − 5√8) + √2.

Решение

$5\sqrt{8} = 5 \cdot 2\sqrt{2} = 10\sqrt{2} = 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{2}$ , и $5^2 + (\sqrt{2})^2 = 25 + 2 = 27$ :

27 - 5\sqrt{8} = 27 - 10\sqrt{2} = (5 - \sqrt{2})^2.

Так как $5 > \sqrt{2}$ , то $\sqrt{27 - 5\sqrt{8}} = 5 - \sqrt{2}$ , и

\sqrt{27 - 5\sqrt{8}} + \sqrt{2} = 5 - \sqrt{2} + \sqrt{2} = 5.

Ответ

Почему так

Сначала выносим множитель из-под корня √8 = 2√2, затем видим квадрат разности.