Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 19

Упражнение 439 к § 19

Задача 1

Условие (кратко)

а) Освободиться от внешнего радикала в выражении √(55 + √216), пользуясь формулой двойного радикала.

Решение

Формула двойного радикала (при $$a > 0$$ , $$b > 0$$ , $a^2 - b \ge 0$ ):

\sqrt{a \pm \sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} \pm \sqrt{\dfrac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}.

Здесь $$a = 55$$ , $$b = 216$$ : $$a^2 - b = 3025 - 216 = 2809 = 53^2$$ .

\sqrt{55 + \sqrt{216}} = \sqrt{\dfrac{55 + 53}{2}} + \sqrt{\dfrac{55 - 53}{2}} = \sqrt{54} + \sqrt{1} = \sqrt{54} + 1 = 3\sqrt{6} + 1.

Ответ

√54 + 1 = 3√6 + 1

Почему так

Формула двойного радикала удобна, когда a² − b — точный квадрат.

Условие (кратко)

б) Освободиться от внешнего радикала в выражении √(86 − √5460), пользуясь формулой двойного радикала.

Решение

$$a = 86$$ , $$b = 5460$$ : $$a^2 - b = 7396 - 5460 = 1936 = 44^2$$ .

\sqrt{86 - \sqrt{5460}} = \sqrt{\dfrac{86 + 44}{2}} - \sqrt{\dfrac{86 - 44}{2}} = \sqrt{65} - \sqrt{21}.

Ответ

√65 − √21

Почему так

При знаке «минус» под корнем в формуле двойного радикала между слагаемыми тоже стоит минус.

Условие (кратко)

в) Освободиться от внешнего радикала в выражении √(17 + √288), пользуясь формулой двойного радикала.

Решение

$$a = 17$$ , $$b = 288$$ : $$a^2 - b = 289 - 288 = 1 = 1^2$$ .

\sqrt{17 + \sqrt{288}} = \sqrt{\dfrac{17 + 1}{2}} + \sqrt{\dfrac{17 - 1}{2}} = \sqrt{9} + \sqrt{8} = 3 + 2\sqrt{2}.

Ответ

3 + √8 = 3 + 2√2

Почему так

a² − b = 1 — точный квадрат, поэтому формула двойного радикала даёт ответ без вложенных корней.

Условие (кратко)

г) Освободиться от внешнего радикала в выражении √(32 − √1008), пользуясь формулой двойного радикала.

Решение

$$a = 32$$ , $$b = 1008$$ : $$a^2 - b = 1024 - 1008 = 16 = 4^2$$ .

\sqrt{32 - \sqrt{1008}} = \sqrt{\dfrac{32 + 4}{2}} - \sqrt{\dfrac{32 - 4}{2}} = \sqrt{18} - \sqrt{14} = 3\sqrt{2} - \sqrt{14}.

Ответ

√18 − √14 = 3√2 − √14

Почему так

Подставляем a = 32 и √(a² − b) = 4 в формулу двойного радикала.