Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 19

Упражнение 440 к § 19

Задача 1

Условие (кратко)

а) Упростить выражение a = √(11 + √85) − √(11 − √85), вычислив предварительно a².

Решение

a^2 = (11 + \sqrt{85}) - 2\sqrt{(11 + \sqrt{85})(11 - \sqrt{85})} + (11 - \sqrt{85}) = 22 - 2\sqrt{121 - 85} = 22 - 2\sqrt{36} = 22 - 12 = 10.

Так как $11 + \sqrt{85} > 11 - \sqrt{85}$ , уменьшаемое больше вычитаемого и $$a > 0$$ . Значит, $a = \sqrt{10}$ .

Ответ

√10

Почему так

Возводим в квадрат, произведение сопряжённых выражений избавляет от внутреннего корня; знак a определяем отдельно.

Условие (кратко)

б) Упростить выражение a = √(3 + √5) + √(3 − √5), вычислив предварительно a².

Решение

a^2 = (3 + \sqrt{5}) + 2\sqrt{(3 + \sqrt{5})(3 - \sqrt{5})} + (3 - \sqrt{5}) = 6 + 2\sqrt{9 - 5} = 6 + 4 = 10.

Сумма двух арифметических корней положительна, $$a > 0$$ , поэтому $a = \sqrt{10}$ .

Ответ

√10

Почему так

Квадрат суммы и формула (x + y)(x − y) = x² − y² убирают двойные радикалы.