Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 19

Упражнение 441 к § 19

Задача 1

Условие (кратко)

а) Является ли рациональным или иррациональным числом значение выражения √(13 + 4√3) − √(13 − 4√3)?

Решение

$4\sqrt{3} = 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 1$ и $(2\sqrt{3})^2 + 1^2 = 12 + 1 = 13$ , поэтому

13 \pm 4\sqrt{3} = (2\sqrt{3} \pm 1)^2.

Так как $2\sqrt{3} > 1$ :

\sqrt{13 + 4\sqrt{3}} - \sqrt{13 - 4\sqrt{3}} = (2\sqrt{3} + 1) - (2\sqrt{3} - 1) = 2.

Число $$2$$ рациональное.

Ответ

Рациональным, значение равно 2

Почему так

Оба двойных радикала раскрываются через 2√3 ± 1, и иррациональные части сокращаются.

Условие (кратко)

б) Является ли рациональным или иррациональным числом значение выражения √(19 − 2√34) + √(19 + 2√34)?

Решение

Ищем числа $$x$$ и $$y$$ с $$x + y = 19$$ , $$xy = 34$$ : это $$17$$ и $$2$$ . Значит,

19 \pm 2\sqrt{34} = (\sqrt{17})^2 \pm 2\sqrt{17}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{17} \pm \sqrt{2})^2.

Так как $\sqrt{17} > \sqrt{2}$ :

\sqrt{19 - 2\sqrt{34}} + \sqrt{19 + 2\sqrt{34}} = (\sqrt{17} - \sqrt{2}) + (\sqrt{17} + \sqrt{2}) = 2\sqrt{17}.

$$17$$ — не квадрат натурального числа, поэтому $\sqrt{17}$ иррационально, и $2\sqrt{17}$ тоже иррационально.

Ответ

Иррациональным, значение равно 2√17

Почему так

Здесь сокращаются слагаемые √2, а √17 остаётся — число иррациональное.